Gruppen von inf. Transformationen und ihre zweigliedrigen Untergruppen. 409 
2. Beispiel: Die drei infinitesimalen Transformationen: 
UJ-- 
Kjl.K 
d x' dy 7 
UJ = 
TT r df . df 
— x dx + y dy , 
l 
dx 1 J dy 
bilden eine dreigliedrige Gruppe. Sie sind nämlich von einander un 
abhängig und es ist: 
{U X UJ = UJ, (U X U 3 ) = 2 UJ, (U 2 U 3 )=UJ. 
Offenbar bilden UJ und UJ für sich eine zweigliedrige Untergruppe, 
ebenso UJ und UJ, denn im einen Fall ist (U x UJ = Uff, im andern 
(Z7 2 Z7 3 ) = ZTJ. Dagegen bilden U x f und UJ keine Untergruppe, denn 
(Ü X U 3 ) drückt sich nicht linear mit constanten Coefficienten durch U x f 
und UJ allein aus. 
3. Beispiel: Die viergliedrige Gruppe von infinitesimalen' Trans 
formationen : 
UJ. 
df 
dx 7 
UJ=x 
dj 
'dy 7 
UJ- 
y d ix 7 u *f 
y 
df 
dy 7 
wo 
(£№) = VJ- uj, (UM = U,f, (UM = - ü 3 f 
ist, enthält unter anderen die drei infinitesimalen Transformationen: 
UJ: 
df 
df 
Uf 
df df , 
® “ 2/ p7, (= 
UJ- UJ), 
dy 7 y dx 7 ^ 1 ^ dx ' J dy 
welche eine dreigliedrige Untergruppe bilden, denn sie sind von ein 
ander unabhängig und es ist 
{ü 2 U 3 )=üf, (Z7 2 Z7) = — 2 UJ, {Ü 3 U) = 2UJ 
Es gilt nunmehr der Satz, dass jede r-gliedrige Gruppe von in 
finitesimalen Transformationen (r > 2) sicher mindestens eine zwei 
gliedrige Untergruppe enthält, d. h. dass sich aus den infinitesimalen 
Transformationen 
c i UJ + c 2 UJ + • • • + c r UJ 
der Gruppe zwei auswählen lassen, deren Klaramerausdruck sich linear 
mit constanten Coefficienten aus diesen selben beiden zusammen 
setzen lässt. 
Diesen Satz, der für unsere Theorie der Differentialgleichungen 
zweiter Ordnung von besonderer Bedeutung ist, beweisen wir, indem 
wir nur von der Definition der r-gliedrigen Gruppe von infinitesimalen 
Transformationen Gebrauch machen. Der Satz gilt deshalb nicht nur