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Gruppen von inf. Transformationen und ihre zweigliedrigen Untergruppen. 411 
r 
2 
r 
2 
(6) 
r 
1 
r 
2 
Wenn umgekehrt e 2 • • • e r r solche Gleichungen erfüllen, in denen a 
und b Constanten sind, und natürlich nicht e 2 • • • e r sämtlich ver 
schwinden, so bestimmen JJ x f und 
üf=e 2 U 2 f+--- + e r ürf 
in der That eine zweigliedrige Gruppe von infinitesimalen Transfor 
mationen, indem dann 
(U^EEEaUJ+büf 
wird. 
Wir haben also nur noch die r Forderungen (6) zu untersuchen. 
Die erste dient zur Bestimmung von a und stellt also für e 2 , e 3 • • • e r 
keine Bedingung dar. Es bleiben die r — 1 übrigen. Dieselben lassen 
sich so schreiben: 
(c i22 — b)e 2 -}- c 132 e 3 + • • • + <hr%e r — 0, 
C 123 (, 2 ~f" i C 133 ty e 3 + • • - + C lr3^r — Oj 
(?) 
'G2r^2 ~h Cl3r&3 + • • • + (dlrr — V)e r = 0. 
Dies sind r — 1 in e 2 • • • e r lineare und homogene Gleichungen. Da 
e 2 • • • e r nicht sämtlich Null sein sollen, so muss ihre Determinante 
verschwinden: 
(8) 
Cx rr — h 
Dies lässt sich immer erreichen, da wir noch über b verfügen können. 
Die Gleichung (8) ist ja eine Gleichung (r — l) ton Grades für b, deren 
höchstes Glied (— l) r—:l b r ~ 1 sicher nicht wegfällt. Eine solche Glei 
chung hat immer mindestens eine Wurzel b. Wählen wir eine Wurzel