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Kapitel 17, § 4. Kapitel 18, § 1. 
für 1) aus, so lassen sich nunmehr die Gleichungen (7) durch Cou- 
stanteu e 2 , e 3 • • • e r befriedigen, welche nicht sämtlich Null sind. (Ist 
h Doppel- oder mehrfache Wurzel von (8), so giebt es unter Um 
ständen sogar unendlich viele Wertsysteme e 2 • • • e rr welche das 
System (7) erfüllen.) 
Mithin können wir für e 2 • • • e r nicht sämtlich verschwindende 
Coustanten finden, welche Relationen von der Form (6) erfüllen. 
U x f und Uf — e 2 U 2 f -f- • • • -f- e r U r f bilden daun in der That 
eine zweigliedrige Untergruppe unserer gegebenen r-gliedrigen Gruppe 
von infinitesimalen Transformationen. U x f • • • U r f bezeichneten irgend 
welche r von einander unabhängige infinitesimale Transformationen 
der r-gliedrigen Gruppe. Statt für ü x f hätten wir also auch dasselbe 
Raisonnement für irgend eine infinitesimale Transformation der Gruppe 
durchführen können, und demnach ist bewiesen: 
Theorem 40: Jede r-gliedrige Gruppe von infinitesimalen 
Transformationen enthält zweigliedrige Untergruppen. Jede 
infinitesimale Transformation der r-gliedrigen Gruppe gehört 
mindestens einer ziveigliedrigen Untergruppe derselben an. 
Kapitel 18. 
Zurückführnng der zweigliedrigen Gruppen von infinitesimalen 
Transformationen der Ebene auf canonisclie Formen. 
Im letzten Paragraphen des vorhergehenden Kapitels haben wir 
uns anscheinend von unserem eigentlichen Probleme der Integration 
einer Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche mehrere bekannte 
infinitesimale Transformationen gestattet, abgewendet. Auch im gegen 
wärtigen Kapitel werden wir scheinbar fremdartige Gegenstände zur 
Sprache bringen. Erst im nächsten Kapitel wird sich zeigen, inwie 
fern die hier zu entwickelnden Theorien mit jenem Integrations 
probleme Zusammenhängen. 
Im vorliegenden Kapitel beschäftigen wir uns nur mit der Zurück 
führung der zweigliedrigen Gruppen von infinitesimalen Transforma 
tionen der Ebene auf gewisse einfache, sogenannte canonische Formen. 
§ 1. Die vier Typen von zweigliedrigen Gruppen von infinitesimalen 
Transformationen der Ebene. 
Nach Theorem 40 des letzten Paragraphen werden unter allen 
r-gliedrigen Gruppen von infinitesimalen Transformationen die zwei