Die vier Typen v. zweigl. Gruppen von infinitesimalen Transf. der Ebene. 413 
gliedrigen besondere Wichtigkeit besitzen, da jede r-gliedrige Gruppe 
zweigliedrige Untergruppen enthält. 
Wir betrachten daher in diesem Kapitel die zweigliedrigen Gruppen 
von infinitesimalen Transformationen und zwar die der Ebene, indem 
wir uns von jetzt ab wieder auf zwei Veränderliche x, y beschränken. 
Zwei infinitesimale Transformationen U x f und ü 2 f bilden dann 
und nur dann eine zweigliedrige Gruppe von infinitesimalen Trans 
formationen, wenn sie erstens von einander unabhängig sind, d. h. 
nicht etwa 
U t f=cU t f 
ist, wo c eine (konstante bedeutet, und zweitens eine Relation erfüllen 
von der Form: 
in der c x und c 2 Constauten sind. 
Diese Relation lässt sich vereinfachen. An Stelle von U.f und J Re i u f i< ? 11 
A/ der Relation 
U 2 f können wir irgend welche lineare Ausdrücke derselben mit con- für (Ge 
stauten Coefficienten benutzen (vgl. die Definition der r-gliedrigen 
Gruppe, § 4 des 17. Kap.), und davon wollen wir Gebrauch machen. 
Dabei macht es einen wesentlichen Unterschied aus, ob c x und c 2 
beide Null sind oder nicht. Im ersteren Falle 
= 0 
ist offenbar auch jedes 
(ci-JJi -f- a 2 ü 2 , b 1 ü 1 -f- b 2 ü 2 ) = 0 (a, h — Const.). 
Die Gruppe besteht also aus lauter vertauschbaren infinitesimalen 
Transformationen (vgl. § 4 des 14. Kap.). Wenn jedoch im anderen 
Falle etwa c 1 =}= 0 ist, so benutzen^wir an Stelle von ü x f und U 2 f 
die von einander unabhängigen, aber von ü\f und U 2 f abhängigen 
infinitesimalen Transformationen der Gruppe: 
ü,f 1 
und erhalten: 
№ £T 2 ) = i(^^) + ±(U,UJ== 
= f (cXJ+CtUtf)^ UJ, 
also: 
(Ü x Üj=U t f. 
Satz 1: Jede zweigliedrige Gruppe von infinitesimalen Transforma 
tionen U]/‘, U 2 f Imnn durch passende Ausivahl der infinitesimalen Trans 
formationen eine solche Form erhalten, dass entweder