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Kapitel 18, §§ 4, 5. 
Ausführung 
der Reduo- 
tiou durch 
Quadra 
turen. 
d. h. U 2 f hat die Form: 
U i f=X 1 ic£)^L + (y + X{x))^. 
Sicher ist hierin X x e|e 0, denn sonst wäre U 2 f von der Form (y -(- X) ü x f 
d. h. TJ-jf und ü 2 f hätten dieselben Bahncurven. Da X x e|e 0 ist, 
kann man durch Einführung einer passenden Function von x als 
neues x mit Leichtigkeit erreichen, dass insbesondere X x =x wird. 
Benutzt man dann noch als neues y die Grösse y -f- X{x\ wodurch 
U x f nicht geändert wird, so kommen die Formen: 
1J ^= x TÜ + y 
K. 
dy 
Satz 6: Stehen zivei infinitesimale Transformationen U x f und U 2 f 
der Ebene mit verschiedenen Bahncurven in der Beziehung (U x ü 2 ) = Z7, f 
so kann man immer durch passende Coordinatemvahl gleichzeitig U x f und 
U 2 f auf die Formen ~, x ■— -f- y bringen. 
Um zu erkennen, welche Operationen diese Zurückführung in der 
Praxis verlangt, seien JJ x f und ü 2 f in beliebigen Veränderlichen x, y 
vorgelegt: 
tt/. t df . df TT n t df , df 
U 'f-- ^ dx + ^ dy’ U *f— ^ dx + ^2 dy’ 
Alsdann ist es, wie bewiesen, möglich, zwei Functionen £ und an 
zugeben, sodass 
df 
df _ df 
51 dx r ^ 1 dy dt) ’ 
df 
: + Ta 
df 
b2 dx 1 1/2 dy * di 
wird. Setzen wir hierin f=% } so kommt; 
r M. + H K 
i -u y dt) 
*>£+*** 
dl 
dy 
dl _ 
0, 
52 dx dy 
Wenn wir beide Gleichungen noch durch £ dividieren, treten 
und ■ auf, die sich also algebraisch berechnen lassen. Dann ist 
lg £ durch eine Quadratur zu finden und damit auch £ zu bestimmen. 
Setzen wir dagegen f = ty, so kommt: 
t Ü Ü 
Sl dx ' Vl fl« 
£ ÜJ-L _i_ v 
52 dx i- % 
dy 
dl) 
dy 
1, 
V