Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom zweiten Typus, 
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Dies ist die gesuchte neue Differentialgleichung, wenn daraus nur 
noch x vermöge 
Zn 
eliminiert wird. Ihre Integration liefert 
» - - f d (I )ß (?) (H?+ c I+ * 
wo c und y die Integrationsconstanten bedeuten, oder, da t) = — ist: 
* - - e J d tyf* (?) üp + 
Wir heben noch eine interessante Bemerkung hervor: Gestattet 
eine Differentialgleichung zweiter Ordnung die infinitesimalen Trans- v" = °- 
formationen 
K r d l 
dy’ dy 7 
so ist, wenn 
V = fix) 
irgend eine Partieularlösung bedeutet, auch 
y = f(x) -}- ax -f- b 
eine Lösung der Gleichung, denn die beiden infinitesimalen Trans 
formationen lassen x ungeändert, während sie y die Incremente dt 
und xdt erteilen. Die Lösung 
y — f(x) -{- ax -f- b 
ist dann die allgemeinste, da sie zwei willkürliche Constanteu a, b 
enthält. Führt man nun die neuen Veränderlichen 
l = x, t) = y~ f{x) 
ein, so nimmt die Integralgleichung die Form an: 
t) = ai + b. 
Die transformierte Differentialgleichung ist daher die Gleichung 
tT = 0, 
da diese die soeben angegebene allgemeine Lösung hat. 
Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung in zwei Veränderlichen, 
welche zwei vertauschhare infinitesimale Transformationen mit denselben 
Eahncurven gestattet, lässt sich also durch Einführung passender neuer 
Variabein auf die Form 
y" = 0 
bringen; oder auch: Ihre oo 2 Integralcurven lassen sich in die oo 2 Ge 
raden der Ebene überführen.