Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom dritten und vierten Typus. 431 
Führt man die Quadratur aus und löst nach t)' auf, so kommt etwa 
h' = tQg S + a) 
und eine Quadratur giebt 
l) — lg £ -f- d) d%-\-b (h = Const.). 
Satz 3: Gestattet die Differentialgleichung zweiter Ordnung 
&0, y> V; y") = 0 
zwei bekannte infinitesimale Transformationen ü x f, ü 2 f, zwischen denen 
die Beziehung (U x U 2 ) =ü x f besteht, und welche verschiedene Bahncurven 
haben, so verlangt ihre Integration höchstens vier Quadraturen. 
Auch in diesem Falle leistet eine spätere Methode mehr, indem 
sie die Integration vermöge zweier Quadraturen erledigt. 
§ 4. Sl(x, y, y y") = 0 gestatte U x f und U 2 f, und es sei {XI x U 2 )= XJ x f 
und UJ + <p s U s f = 0. 
Wir kommen zum letzten Fall, dem vierten Typus. Wenn die 
Differentialgleichung 
&0, y> y> y") = 0 
zwei infinitesimale Transformationen ü x f, U 2 f des vierten Typus zu 
lässt, so können wir zunächst nach Satz 9 des § 5, 18. Kapitel durch 
Bestimmung der Bahncurven von U x f, also durch Integration einer 
gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung solche neue Veränder 
liche £, b einführen, dass U x f und U 2 f die Formen erhalten: 
df „ 8f 
8t) 
9 
8t) ■ 
während etwa II — 0 übergehe in 
h = gj (je, t), h )• 
ps j? 
Diese Gleichung muss gestatten, d. h. nach Theorem 35 ist sie 
frei von h- Auch soll sie t) ~ zulassen. Daher giebt dasselbe Theo 
rem noch die Bedingung 
oder: 
. / 8co ~ 
”-9 8? = ° 
8 lg CO 
8y 
d. h. es ist 
cd == 
Durch Einführung der neuen Veränderlichen £, l) nimmt somit unsere 
Differentialgleichung die Form an: