432 Kapitel 19, § 4. 
Beispiel. 
Verkürzte 
lin. Diffgl. 
2. Ordn. 
9" — 9>(iW, 
und eine Quadratur liefert: 
lg $ “./Vöd^S + lg a (a — Const.) 
oder 
sodass me zweite Quadratur giebt: 
b == aJe/y^^dy: -f- 1) (b = Const.). 
Satz 4: Gestattet die Differentialgleichung zweiter Ordnung 
&0; y, y, y") = o 
bekannte infinitesimale Transformationen U x f, U 2 f mit denselben 
Bahncurven, und besteht zwischen ÜJ' und ü 2 f die Beziehung ( U 1 ü 2 ) = TJJ] 
so verlangt ihre Integration höchstens die Integration einer Differential 
gleichung erster Ordnung und zwei Quadraturen. 
Zu bemerken ist, dass auch in diesem hier schwierigsten Falle 
unsere später zu entwickelnde Methode die Integration durch zwei 
Quadraturen völlig erledigt. 
Beispiel: Yorgelegt sei die sogen, verkürzte lineare Differential 
gleichung zweiter Ordnung: 
y" + Xi (x)y -f- X(x)y = 0. 
Ferner sei eine Particularlösung y = z(x) derselben bekannt. Ist daun 
y irgend eine Lösung der Gleichung, so sind auch y -J- cz und cy Lö 
sungen, d. h. die Differentialgleichung gestattet die infinitesimalen 
Transformationen 
v,f=y d / y ■ 
Hier ist (Ü 1 U 2 )= U x f und ü x f und U 2 f haben dieselben Bahn 
curven. Es liegt demnach der soeben betrachtete Fall vor. Wir 
führen nach unserer Methode neue Veränderliche £, t) ein, indem wir 
setzen: df 8f df „ df 
0 dy dt)’ y dy ^ dt)' 
Offenbar können wir hier £ = x und 1) = - setzen. Die Differential- 
Z(X) 
gleichung erster Ordnung, von der im Satz 4 die Rede war, ist also 
hier sofort integriert. Nun wird: 
y = 8{%)t) 
und daher, da £ = x ist: 
y =z’ \| + ztf, 
ij'=z"\)-\-2z\f + z\)", 
sodass