L i e, Differentialgleichungen. 
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Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom vierten Typus. 
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y" -J- Xj y -f- Xy == (z" -f- z' -}- Xz) t) -(- (2 z -f- X x ^)t) -f- zi) 
wird. Da aber z eine Particularlösung ist, so fällt das erste Glied 
rechts fort. In den neuen Veränderlichen lautet die Differentialglei 
chung daher: 
Der in Klammer stehende Ausdruck enthält nur je. Daher gieht die 
Integration: , , 
r -/Ya- + * 1 W 
= I ce J ' 2 ' dl -f- y, 
wo c und y die Integrationsconstanten bedeuten. Mithin kommt 
schliesslich, da 5 = x und = j ist: 
V = 8{p) 
dx -f- yz(x). 
Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche 
df_ df 
dy’ V dy 
Eeduction 
auf die Form 
y" = 0. 
gestattet, besitzt, wenn y — f(x) irgend eine Particularlösung ist, die 
allgemeine Integralgleichung: 
V = fix) + ay + 
Setzt man y — f(x) — ty, y — l, so kommt die Integralgleichung 
t) = ai + b, 
deren zugehörige Differentialgleichung lautet 
t)" = 0. 
Mithin folgt wie in § 2: Jede Differentialgleichung zweiter Ordnung in 
zwei Veränderlichen, welche eine zweigliedrige Gruppe von nicht ver 
tauschbaren infinitesimalen Transformationen mit denselben Bahncurven 
gestattet, lässt sich durch Einführung passender neuer Variabein auf die 
Form y" — 0 bringen. 
Auch hier können wir weiter schliessen: Eine Differentialgleichung 
zweiter Ordnung, welche zwei nicht vertauschbare infinitesimale Trans 
formationen zulässt, gestattet ausserdem noch sechs unabhängige in 
finitesimale Transformationen. 
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