Zweite Integrationsmethode für eine gewöhnliche Differentialgl. 2. 0. in x, y. 461 
UJ+eUJ, 
so stellt cp = Const. die oo 1 Bahncurven dieser Transformation dar. 
Da U 1 f und U 2 f vertauschbar sind, so gestattet die Gleichung 
ÜJ+cü,f= 0, 
der (p genügt, die infinitesimale Transformation U x f d. h. ü x cp ist 
eine Function von cp allein und, sobald nicht c = 0 ist, nicht Null 
(denn U x f und U 2 f haben verschiedene Bahncurven). Demnach kann 
cp immer so gewählt werden, dass U x f = 1 wird, und cp genügt also 
den beiden Relationen: 
oder: 
U x <p + c 
U x cp = 1, 
ü 2 cp = 0, 
Vi<p~ 1, 
U 2 cp = a 
(a — Const.), woraus sich und berechnen lassen. 
v o x dy 
giebt sich durch eine Quadratur in der Form 
dx dy 0 
/ i 
Si % — £2 Vi 
Vi 
Daher er- 
I2 V2 a 
Allerdings kommt unter dem Integralzeichen eine arbiträre Constaute 
a vor. Ist cp(x, y, a) dies Integral, so stellt 
cp (x, y,d) = b 
die oo 2 Integralcurven von y" — ca (y, y, y) = 0 vor. 
Von dem Ausnahmefall, das zwischen Uff, Uff und Af eine 
lineare Relation besteht, können wir nunmehr absehen. Wir nehmen 
also jetzt an: Die Determinante von Uff, Uff und Af sei verschie 
den von Null, während es für die weitere Behandlung gleichgültig 
ist, ob zwischen ü x f und U 2 f eine lineare Relation besteht oder nicht. 
Denn bei beiden Annahmen giebt die Theorie des § 2, da (Uf Uf) = 0 
ist, durch zwei von einander unabhängige Quadraturen die Integrale: 
dx 
dy 
dy 
1 
y 
co (x, y, y) 
Vi 
dih . / (djh _ SJi 
dx ' J \dy dx 
dx 
dy 
dy 
1 
y 
a{x,y,y) 
% 
dy2 , ; (dvz dj 2 
dx ' J \dy dx 
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