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Kapitel 20, § 4. 
in denen A die Determinante von A x f, Uff und Uff bedeutet: 
1 y 
tu Or, y, y) 
A = 
Si Vi 
+ y ’ (pi _ m 
ÖX 1 J Vcy OXJ 
>2 
% 
dva 1 ’ {d_3i _ <Lk\ 
dx ' J \dy dx) 
— y' 2 
y dy 
Unsere Ergebnisse sprechen wir in folgendem, auch den oben 
betrachteten Ausnahmefall umfassenden Satze aus: 
Satz 1: Gestattet eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ord 
nung in x, y: 
w{x, y, y, y") = 0 
zwei bekannte vertauschbare infinitesimale Transformationen 
77 n t df . df TT ~ t 8f . df 
dx + 711 dy’ + 
von denen keine trivial ist, so verlangt die Integration der Differential 
gleichung höchstens zwei von einander unabhängige Quadraturen. 
Zweiter 
Hauptfall: 
(u, uj -|- o. n i c hi 
Es steht jetzt noch der zweite Hauptfall zurück, dass U t f und U 2 f 
vertauschbar sind, also etwa 
(E\U,)= UJ 
und daher auch 
{UfUf)=Uff 
ist. Wir erkennen genau so wie früher, dass, wenn U x f und U 2 f die 
selben Bahncurven haben, die Determinante von U x f, U 2 f, Af nicht 
verschwindet. Haben sie verschiedene Bahncurven, d. h. besteht keine 
lineare Relation zwischen TJ\f und U 2 f, so verfahren wir analog wie 
oben: Wir führen wie in § 4 des 18. Kapitels durch zwei successive 
Quadraturen solche canonische Veränderliche £, lj ein, dass 
tj f— df tt f— r df_ i j, df_ 
wird. Alsdann geht die Differentialgleichung y"—co (x, y, y) = 0 
etwa über in; 
w(jc, t), tf) = 0. 
Da sie — gestattet, ist w frei von t), und da sie £ ^ 
so hat w die Form: 
df 
d\) 
zulässt, 
(vgl. § 3 des 19. Kapitels). Die Determinante von Af, Uff, Uff 
lautet nun in den neuen Veränderlichen £, 1), da jetzt: