Existenz einer infinitesimalen Transformation in der eingliedrigen Gruppe. 27 
(4) Xl = x dt-\ ; y x =y + v(x> y)*H ; 
welche eine infinitesimale Transformation der eingliedrigen Gruppe 
darstellen und in denen die nicht hingeschriebenen Glieder von höherer 
Ordnung unendlich klein sind als öt. Freilich erkennt man durch 
dieses Raisonnement nicht, ob die Reiheuentwickelungen (4) nach 
ganzen oder gebrochenen Potenzen von öt fortschreiten. Dagegen 
giebt die weiter unten zu besprechende Methode sicher Reihenent- 
Avickeluugen nach ganzen Potenzen des Parameters. | und rj enthalten 
allerdings auch noch a 0 , aber a 0 ist kein beliebiger Parameter, sondern 
eine bestimmte Zahl und braucht darum in | und rj nicht besonders 
angeführt zu werden. 
Wendet man diese Methode etwa auf die eingliedrige Gruppe 
x l — xa— y]/1 —a 2 , y v = y a -f- x ]/1 — a 2 
an, so findet man, dass sie nicht durchführbar ist. Dies liegt darin, dass die 
Grösse |/l — a? sich nach der Substitution a — 1 -(-di nicht nach ganzen 
Potenzen von öt entwickeln lässt. Die folgende Methode dagegen liefert eine 
infinitesimale Transformation, da bei ihr y 1 — a 2 nicht in der Umgebung 
der Stelle a = 1, sondern einer beliebig annehmbaren Stelle in eine 
Potenzreihe entwickelt wird. 
Mau kann auf einem weitläufigeren Wege, der aber tiefer in die^^^W, 
Sache hineinführt, zu einer infinitesimalen Transformation der ein- “finites!- 
7 malen Trans- 
gliedrigen Gruppe gelangen, nämlich so: Wir geben dem Parameter a formation - 
einen beliebigen, aber bestimmten Wert s. Die zugehörige Transfor 
mation — wir bezeichnen sie kurz mit (e) — führt die Punkte p der 
Ebene in neue Lagen p l über. Es giebt dann nach Voraussetzung 
eine zu dieser inverse Transformation in der Gruppe. Ihr Parameter 
sei g, er ist eine gewisse Function 
von e. Diese Transformation (f) führt 
alle Punkte p 1 wieder in die Lagen p 
zurück. Eine Transformation nun, deren 
Parameter unendlich wenig von s ab 
weicht, also etwa ist, wird p 1 
nicht genau nach p, sondern nach einer 
p unendlich benachbarten Stelle p 
führen. (Siehe Fig. 4.) Die Reihen 
folge der Transformationen («) und 
(ß -f- de) wird p nach p x und dann 
nach p bringen und ist einer einzigen der Gruppe angehörenden 
Transformation äquivalent, welche die Punkte p der Ebene in ihnen 
Fig. 4.