Begriff der Zusammensetzung und Begriff der invarianten Untergruppen. 477 
(UiUf)i combiniert mit irgend einem Ujfeine aus den (JJiük) allein 
linear mit constanten Coefficienten zusammensetzbare infinitesimale 
Transformation, denn nach (1) ist; 
r 
1 
Also gilt das 
Theorem 46: Ist ü x f • • • U r f eine r~gliedrige Gruppe von 
infinitesimalen Transformationen, so bilden die (UiUf) eine 
invariante Untergruppe derselben. 
Es sind zwei Fälle denkbar: Entweder sind unter den (UiUf) 
gerade r vvon einander unabhängige enthalten oder weniger. Der 
erste Fall tritt z. B. bei der Gruppe 
P + X P + m, + y 2 q 
ein. Allgemein nennen wir die Gruppe der (UUf) die erste derivierte de ^®‘® te 
Gruppe. Man kann von dieser derivierten Gruppe wieder die erste Gruppe - 
derivierte Gruppe suchen u. s. w. Die sich dadurch ergebenden Unter 
gruppen heissen dann die zweite, dritte u. s. w. derivierte Gruppe der 
gegebenen Gruppe U x f • • • U r f. So hat die fünfgliedrige Gruppe 
p, xp, q, xq, x 2 q 
als erste derivierte die viergliedrige: 
p, q, xq, x 2 q, 
als zweite die zweigliedrige: 
q, xq, 
während eine dritte derivierte Gruppe wegen (q, xq) = 0 nicht vor 
handen ist. 
Die hier eingeführte Terminologie hat tiefer liegende Gründe, die Zusamm on- 
o o o ; hang zw. 
an dieser Stelle noch nicht erörtert werden können. Wir wollen nur. G f G ’ p l n v j 
die Bezeichnung der Gruppen von infinitesimalen Transformationen®™™™^. 
etwas näher begründen und gehen dazu von Beispielen aus. (Vgl. dabei Trf 
§ 2 des 2. Kap.) Im 18. Kapitel fanden wir vier Typen von zwei 
gliedrigen Gruppen von infinitesimalen Transformationen in der Ebene. 
Der erste derselben war dieser: 
p, q. 
Dieser Gruppe gehört allgemein die infinitesimale Transformation 
P -f- aq {a = Const.) 
an. Dieselbe erzeugt, wie wir wissen, eine eingliedrige Gruppe von 
endlichen Transformationen: 
X x = X-\- t, y x — y at.