Erster Typus von dreigliedrigen Zusammensetzungen. 
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Sicher ist or 2 =|= 0, denn sonst wäre (Uf) = cc 1 U x = cc 1 { TT X U 2 ), d. h. 
die drei Ansdrücke {U 1 U 2 ), (ZTjCZj), {U 2 U 3 ) wären nicht von einander 
unabhängig. Da a 2 also =J= 0 ist, so folgt ß 3 — 1 und ß 2 = — a 1} 
sodass wir haben, wenn Vif von nun an kurz mit Ui bezeichnet wird: 
(tw)= u„ 
{11,11,) = «,11,+ a,U, («, + 0), 
(U,ü,) = ß,U,-«,U,+ V,. 
An Stelle von U 3 f können wir nun eine infinitesimale Transformation 
U,'f= uj+ijjj+w, 
in der l 2 irgend welche Constanten bedeuten, und die sicher U 3 f 
enthält, einführen. Dann haben wir: 
{U 2 U 3 ') = ß 1 U l -a 1 ü 2 + — 
= (ßi — 2/lj) TT X — («j + A 2 )ZX + U 3 \ 
Nehmen wir also 
an, so kommt 
(U,U,’) = «,U„ (U,U,')=U,’. 
Die von Null verschiedene Zahl a 2 kann leicht gleich irgend einer 
von Null verschiedenen Zahl gemacht werden. Setzt man nämlich 
UjEEEaüJ, U 2 f = UJ, U 3 f — aUff (a =j= °), 
so kommt 
W5) = üi, {Tim = {UM = ü 3 . 
Durch passende Wahl der von Null verschiedenen Constanten a können 
wir hier dem Factor a 2 a 2 jeden von Null verschiedenen Wert geben. 
Insbesondere wollen wir a 2 a 2 = 2 machen. Wir finden demnach 
die Klammerausdrücke 
(U,U,)=U„ (U,U,) = 2Ü„ {U,U,)=U,. 
Jede dreigliedrige Gruppe von infinitesimalen Transformationen, ^ ^ :jf 
deren infinitesimale Transformationen durch die Klammeroperationen 
sämtlich reproduciert werden, kann also durch passende Auswahl der^f'' K/U ß 
drei von einander unabhängigen Transformationen auf die Zusammen 
setzung 
(UM^u, {UM = zu 2 {u 2 u 3 )= u 3 
gebracht werden. 
Lie, Differentialgleichungen. 31