Erster Typus von dreigliedrigen Zusammensetzungen, 
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*, U t + e 2 U 2 + s, 3 U 3 = {SaU, Zß U) = 
= ( a ißa ~ a 2 ßi) ( Ui U 2 ) 4“ 
+ 0*2 03 a 3 0ä) ( ^2 f^) 4“ 
+ Os& — «i 0 3 ) ( u 3 uß) 
= A a 2^l) ( C 121 4“ C 122 U 2 -f* C 123 ^3) 4" 
4“ /(**2 A «3 A) ( C 231 Uy 4“ C 232 ^2 4" C 233 U3) 4" 
4~ { a sßi *M(PmU x + C 312 ^2 + C 313 m 
zugeordnet, wo also: 
| £j = {(X 1 ß g a 2 0l)^121 4~ (.^sßs a 3A) C 231 “1“ 0*3 A **lA) C 311> 
(4) | £ 2 = 0*1 A a aßl)^122 4" (**2 A a sß'i) C 232 4" 0*3 A **1 A) C 312 > 
lf 3 = 0*1 A a 2^l) C 123 4“ (**2 A **3 A) C 233 4" 0*3 A a lA)^313 
ist. Entsprechend gehört danach jedem Punktepaar (a t , a 2 , a 3 ), (A> 
ß 2) ß 9 ) der Bildebene ein Punkt (s 1} s 2 , s 3 ) derselben zu, dessen 
Coordinaten s l} s 2 , s 3 sich vermöge (4) durch die der ursprünglichen 
beiden Punkte ausdrücken. Die beiden ersten Punkte — wir be 
zeichnen sie kurz mit (cc) und (ß) — bestimmen eine Gerade. Zwei 
beliebige Punkte (ä) und (ß) derselben haben die Coordinaten: 
**1 = 4" **2 == **2 4" Pß2) **3 :== «3 + P ßs'i 
ßl == **i 4“ ^ ßi ) A == **2 4“ ^ A } A **3 4“ ^ ßsi 
ihnen gehören die infinitesimalen Transformationen 
a i u t 4“ a 2U 2 4- «3U 3 -j- p(A U x + ß 2 U 2 + ß 3 U 3 ), 
cc 1 U 1 4~ «2 U 2 4~ «3 ü 3 + <? (ßi U t 4~ A U 2 4~ ßs U 3 ) 
zu. Der Klammerausdruck derselben ist offenbar gleich 
(ö — q) («! Uy 4“ «2 U 2 a 3 U 3 , ßi Uy -j- ß 2 U 2 + ß 3 U 3 ). 
Die Coordinaten des dieser infinitesimalen Transformation zugeordneten 
Punktes (s) unterscheiden sich demnach von den obigen £ n £ 2 , £ 3 nur 
um den Factor (<? — q), d. h. dieser neue Punkt (s) deckt sich mit 
dem Punkt (s). 
Wenn also zwei Punkten (cc), (ß) der Bildebene ein dritter Punkt 
(g) derselben vermöge der Klammeroperation zugeordnet ist, so ist 
jedem Punktepaar (¿), (ß) der von («) und (ß) bestimmten Geraden 
eben dieser Punkt (8) zugeordnet. Daher rechtfertigt es sich, zu 
sagen, dass die Klammeroperation jeder Geraden der Bildebene einen 
PunU derselben zuordnet. Es fragt sich nun, welches der geome 
trische Charakter dieser Zuordnung ist. 
Die durch die Punkte (a) und (ß) bestimmte Gerade hat die 
Liniencoordinaten