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Kapitel 2, § 3. 
unendlich benachbarte Punkte p überführt, d. h. einer infinitesimalen 
Transformation der Gruppe. 
A ^urch- Che Wir w °U eu dies hier rein begrifflich dargestellte Verfahren jetzt 
fü ser U neuen' ana lytisch verfolgen. Die erste Transformation (s) wird dargestellt 
Ableitung, üurnh: 
(5) 
% = y, £ ), !/i = 1>{x, y, «); 
die Transformation (s -(- d«), welche nach dieser ausgeführt werden 
soll, durch 
x = (p(x 1} y i} E + ds), y = yj(x l ,y 1 ,s + ds). 
Elimination von x 1 und y 1 aus (5) und den beiden letzten Gleichungen 
giebt daher die gesuchte Transformation, welche die Punkte p in die 
Punkte p überführt: 
x = (p{cp{x,y,s), il>(x,y,s), e + df), y'=t((p (x,y, s), y, s), e + ds). 
Entwickeln wir diese Werte nach Potenzen von ds, so kommt 
x'= (p{(p{x, y, s), lf>(x, y, £),£) + 
ds 1 
(6) 
y = y, s), y, s), s) + 
Diese Gleichungen der gesuchten Transformation lassen sich noch 
vereinfachen, wodurch man dann erkennt, dass sie wirklich eine infi 
nitesimale Transformation darstellen. Es sind ja nach Voraussetzung 
die Transformationen (s) und (s) zu einander invers, d. h. wenn man 
nach der Transformation 
Xi = <p{x, y, s), y t = if>{x, y, s) 
die Transformation 
x 2 = (p(Xi,y l} s), y 2 = ^{x u y u &) 
ausführt, muss man die identische Transformation x 2 = x, y 2 — y 
erhalten. Es geht aber durch Elimination von x x und y L hieraus die 
Transformation hervor: 
^2 = y, £ ), t(x, y, £ ); «), V% = y, £ ); Vfa y> «)> «)• 
Es ist also eine blosse Folge unserer Voraussetzung, (e) und (?) 
seien inverse Transformationen, dass 
<p(<p{x, y, £ ), ^0, y, s), s) = x, t{cp{x, y, s), il>(x, y, «), s) = y 
ist. Die Gleichungen (6) der Transformation der Punkte p in die 
Punkte p lauten deshalb auch so: 
„ , dq>(cp(x, y, s), y, s), s) ds , 
x — x-i 0g r "> » 
./ .. I d-ip(cp(x, y, s), ip(x, y, s), s) Ss , 
y — y "i ä? r 
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