490 
Kapitel 21, § 3. 
(r/,if 2 ) = o, {u,u,) = ru t ■ ßu t = o. 
Dann können wir also durch Benutzung von U 2 an Stelle von U 2 
auch y — 0 machen, -ß Z7 3 als neues U 3 macht schliesslich noch 
/5 — 1; und so ergiebt sich die Zusammensetzung: 
jw=° .(p.F a )=er, mu 3 )=o |. 
Als Beispiel hierzu diene die Gruppe 
P, a, xp- 
Ist dagegen ß — 0, so ist y =(= 0 und yZT/ als neues C// macht 
y = 1; sodass wir den Typus erhalten: 
(17,IS)Wo (ITO)eeeO ^ 
Diese Zusammensetzung besitzt z. B. die Gruppe: 
q, p, xq. 
Wir kommen nun zur letzten Annahme, dass nämlich alle Glieder 
derivTorU) der Determinante A verschwinden, d. h. die erste der ¿vierte Gruppe 
nuiigBednvgPullgliedrig, gar nicht vorhanden ist: 
(%%) = 0 (üj u 3 ) = o {U 2 u 5 ) = 0 . 
Hier diene als Beispiel: 
q, xq, x 2 q. 
Fassen wir die Ergebnisse des vorigen und dieses Paragraphen 
übersichtlich zusammen, so ergiebt sich 
Satz 1: Jede dreigliedrige Gruppe von infinitesimalen Transforma 
tionen lässt sich durch passende Auswahl dreier von einander unab 
hängiger TJJ, U 2 f, U 3 f aus der Schar ihrer infinitesimalen Transforma 
tionen auf eine und nur eine der folgenden Formen bringen: 
A. 1) (U X JQ=U X 
B. 2) (C&CÜ = 0 
2’) (üm,) = 0 
3) (ET. £r,) = 0 
0.4) (%&,)== 0 
5) (£/¡£0 = 0 
D. 6) (£/;££) = 0 
(£/;££ s ) = 2E£ 2 (U t U,) = .U„ 
{Ü,U 3 )=U, (U 2 U s ) = cl7* 
(0)®= U, (U 2 Ü 3 )=U 3 , 
(££,££,) =£7, (U 2 ü,)=U l + U 2 , 
(£7! £7 3 ) = £7, (E№) = 0, 
(£7 I ££,i = 0 (C7 a £T 3 ) = £7), 
(0i£7,) = 0 (£7 2 £7 S ) = 0. 
i),