Typen der dreigl. Gruppen, deren erste derivierte dreigl. sind. 495 
Wir hatten oben angenommen, dass UJ' und TJJ‘ verschiedene 2 ^ 1 ^ 
Bahncurven haben. Besitzen sie dagegen dieselben Bahncurven, sOgef^nBahn 
können wir wegen (UyU^) = U x nach § 5 des 18. Kapitels solche Ver- curv0n - 
änderliche x, y aunehmen, dass insbesondere 
wird. Sei dann 
so ist: 
Ui =<h = yq 
= + VQ, 
(u i u 3 )EEy{ d ^v + ^<i)-nq- 
Der erstere Klammerausdruck soll gleich 2 U 2 , der letztere gleich 
sein. Demnach folgt: 
d 
dy 
0, 
dy 
dy 
= 2y, 
= 2 rj. 
Also ist | = 0 und t] = y\ sodass die Gruppe lautet: 
U, 
q yq ifq . 
Wir haben also gefunden, dass sich jede dreigliedrige Gruppe 
von infinitesimalen Transformationen der Ebene, deren erste derivierte 
Gruppe auch dreigliedrig ist, auf eine der drei typischen Formen 
bringen lässt: 
1) 
2) 
P xp + yq P + (2xy + y 2 )d , 
p xp + yg. x*p + Zxyg. , 
3) 
q yq y\ 
Für die beiden ersten Typen wollen wir noch einige andere Formen 
angeben, die sich durch Einfachheit auszeichnen. Um Typus 1) zu er 
halten, führten wir schliesslich die neuen Variabein 
x = x + yy, y = y 
in die Gruppe 
p, %p + yq, O 2 + <*y 2 )p + (2^2/ + ßy 2 )q 
ein, indem wir y als Wurzel der quadratischen Gleichung 
a ßy — y 2 = 0 
wählten. Da diese Gleichung zwei Wurzeln y, etwa y x und y 2 besitzt, 
so können wir auch, sobald y t =4= y 2 ist,