Existenz einer infinitesimalen Transformation in der eingliedrigen Gruppe. 29 
infinitesimalen 
Verfahren jetzt 
idrd dargestellt 
geführt werden 
if). 
en Gleichungen 
’unkte p in die 
) kommt 
y> Qi«) £f . 
i 
y, «), «) äs , 
T+" • 
isen sich noch 
klich eine infi- 
Voraussetzung 
, h. wenn man 
2 = x, y 2 = y 
y x hieraus die 
'}{x, y, e), e). 
', (f) und (f) 
«); S) = y 
ikte p in die 
\ 
*7 
und in dieser Form stellen sie offenbar eine infinitesimale Transfor 
mation dar 7 da hier x und y nur unendlich wenig von x und y ab 
weichen. 
Jetzt erkennt man durch eine kleine Ueberlegung sehr leicht, 
dass die ersten in de linearen Glieder nicht verschwinden. Denn be 
zeichnet man <p(x, y, s) und ip(x, y, s) wie in (5) wieder mit x x und y x , 
so haben diese linearen Glieder in (7) die Coefficienten 
Gcp(x l ,y lt s) d'ipjx!, y lt e)' 
dt ’ ds 
Hierin können nun x l} y x und s als unabhängige Veränderliche auf- 
gefasst werden. Wäre 
dqpfo, 2/1, D r\ n 
. ds + —dt — ’ 
so würden (p{x l ,y 1 ,s) und i>(x 1 ,y i} e) frei von e sein, d. h. allgemein 
wären die Gleichungen der Gruppe x x — cp{x, y, d), y x — jp(x, y, a) 
frei von a. Sie würden also gegen die Voraussetzung gar keinen 
Parameter enthalten. 
In (7) sind die Coefficienten von ds, die also nicht verschwinden, 
Functionen von x, y, s und s. Zu einer Transformation (V) gehört 
aber eine ganz bestimmte inverse (e). Es ist daher s eine gewisse 
Function von e, und jene Coefficienten hängen also nur von x, y 
und e ab. Wir bezeichnen sie mit £(#, y, e) und rj(x, y, e) und er 
halten dann die infinitesimale Transformation 
(8) af = x + £(x,y,s)dE -\ , y'= y + yi{x, y, e)öe 4 , 
die sicher unserer eingliedrigen Gruppe angehört und noch eine will 
kürliche Constante e enthält. 
Fassen wir in (8) e als eine bestimmte Grösse, öe dagegen als 
eine veränderliche unendlich kleine Grösse auf, so sind die rechten 
Seiten unendliche Potenzreihen nach ds. Bei dieser Auffassung geben 
uns die Gleichungen (8) eine zur identischen Transformation unendlich 
benachbarte Transformation unserer Gruppe. 
Nun aber kann man die Constante £ noch beliebig wählen und 
man kann also auf verschiedenen Wegen zu einer solchen infinitesi 
malen Transformation der vorgelegten eingliedrigen Gruppe gelangen. 
Später werden wir sehen, dass alle infinitesimalen Transformationen 
der Gruppe, die man so bestimmen kann oder vielleicht durch noch 
andere Methoden zu finden vermöchte, in den unendlich kleinen 
Gliedern erster Ordnung bis auf einen constanten Factor überein-