Zurückführung dieigl. Gruppen von inf. Trf. der Ebene auf ihre can. Formen. 503 
Einführung neuer Yariabeln projectiv gemacht werden könnte. Es 
müsste also eine Schar von oo 2 Curven existieren, welche durch 
q } VQ.} y 2< l unter einander vertauscht würden. Wäre y — f{x) eine 
dieser Curven, so würden die endlichen Translationen der eingliedrigen 
Gruppe q diese in die Curven y = f(x) -f- a überführen, die auch der 
Schar angehören müssten. Ferner würden die endlichen Transforma 
tionen der Gruppe yq die Curven y — f(x) -f- a offenbar in die Curven 
hy — f{x) -f- a überführen, und die endlichen Transformationen der 
Gruppe y 2 q würden diese in die Curven 
i / w + T 
oder also in die Curven 
f( x ) + a 
J <*f\x) + ß 
verwandeln. Dies aber sind oo 3 Curven. Jede Curve wird also bei 
q : yq } y 2 q in oq 3 Curven übergeführt, niemals in nur oo 2 . Es existiert 
demnach auch keine invariante Differentialgleichung zweiter Ordnung 
beim Typus 3. Beim Typus 13 wird eine Curve y — f{x) auch stets 
in oo 3 Curven 
y = f (ir) -j— ci -f- h x -f- c X (x'j 
transformiert, sodass auch dieser Typus keine Differentialgleichung 
zweiter Ordnung invariant lassen kann. 
Kapitel 23. 
Zurückfiihrung der dreigliedrigen Gruppen von infinitesimalen Trans 
formationen der Ebene auf ihre canonisclieu Formen. 
Das Ziel aller unserer jetzigen Betrachtungen ist, wie schon 
hervorgehoben werde, die Integration derjenigen gewöhnlichen Differen 
tialgleichungen zweiter Ordnung in x, y, welche eine bekannte drei 
gliedrige Gruppe von infinitesimalen Transformationen gestatten. Durch 
die Aufstellung der canonischen Formen der dreigliedrigen Gruppen, 
wie sie in § 3 des vorhergehenden Kapitels angegeben ist, sind wir 
diesem Ziel schon bedeutend näher gerückt. Die Schritte, die noch 
nötig sind, werden nun in diesem und dem nächsten Kapitel gethan.