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Kapitel 23, § 1. 
§ 1. Differentialgleichungen zweiter Ordnung in x, y, welche eine 
dreigliedrige Gruppe von infinitesimalen Transformationen gestatten. 
Nachweis, 
dass jede 
Integral- 
curve eine 
Bahncurvc 
oder inv. 
Curve ist. 
Nehmen wir an, die Differentialgleichung 
&i x > V, V, y) = 0 
gestatte die drei infinitesimalen Punkttransformatiouen UJ, UJ, UJ, 
welche eine dreigliedrige Gruppe bilden. Alsdann ist die Schar der 
oo 2 Integralcurven: 
G)(X, i), d, J)) = 0 (a, b = Coust.) 
der Differentialgleichung invariant gegenüber diesen dreien und über 
haupt jeder infinitesimalen Transformation 
Const. UJ -f- Const. UJ + Const. UJ 
der dreigliedrigen Gruppe. 
Betrachten wir insbesondere eine bestimmte, aber beliebige unter 
diesen Integralcurven, erteilen wir also a und b bestimmte Werte. 
UJ führt diese Curve 
a (x, y, a, b) = 0 
in die Curve 
a{x, y, a, b) — JaÖt = 0 
über. Diese muss zur Schar der Integralcurven gehören und also auch 
eine Gleichung von der Form haben: 
a(x, y,a — d t a, b — d\b) = 0 
den di 
oder: 
a(x, y, a,b) — ~ d\a — ~ d\b = 0. 
Hier sind d x a und d\b gewisse unendlich kleine Zahlen, Es ist also: 
rr 0 CO (X | 3 CO Jj 
x a . ^ ^ 'di) §t 
Analog führen UJ und UJ die Curve a — 0 in benachbarte Curven 
a(x, y,a — d 2 a, b —- ö 2 b) — 0, 
a{x, y,a — d ;i a, b — öj) == 0 
über, und es ist 
tt & ® cc | () co Öq Jj 
u * a =j^-ät + 
TT dco ö„a . 
Ua = — -f,. 
dh Öt ’ 
dco 8 3 b 
da öt Jb TT 
Nun ist es leicht, eine infinitesimale Transformation 
<bU t f + c.tü.J + c s U s f 
der dreigliedrigen Gruppe anzugeben, welche die Integralcurve