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Kapitel 23, § 2. 
§ 2. Zurückführung einer dreigliedrigen Gruppe, deren erste 
derivierte dreigliedrig ist, auf ihre canonische Form. 
Angenommen, es handelt sich um die gegebene dreigliedrige 
Gruppe ü x , TJ 2 , TJ 3 , deren erste derivierte auch dreigliedrig ist, und 
deren infinitesimale Transformationen nicht sämtlich dieselben Bahn- 
curveu haben. Nach dem Früheren muss sie auf einen der Typen 
reducierbar sein: 
1) p + q, xp + yq, x 2 p + y 2 q\ 
2) p, 2xp -f yq, x 2 p + xyq. 
Um zu entscheiden, auf welchen, suchen wir die Anzahl der in 
varianten Differentialgleichungen erster Ordnung. Zu dem Zweck 
bilden wir nach-der Schlussbemerkung des vorigen Paragraphen die 
Determinante z/. Beim Typus 1 lautet sie: 
11 0 
X y 0 
a 2 y 2 2{y — x)y 
= 2{y~ xfy. 
ln der That ist, wie man verificieren mag, y = 0 eine invariante 
Differentialgleichung erster Ordnung. Offenbar ist auch 
beim ersten Typus eine solche. Beim Typus 2 lautet die Determinante 
1 
2x 
X 2 
0 
y 
xy 
0 
— y 
y — xy 
Sie liefert also keine invariante Differentialgleichung, 
ist auch hier 
Aber offenbar 
invariant. Typus 1 und 2 unterscheiden sich mithin dadurch, dass 
der erste zwei, der zweite nur eine Differentialgleichung erster Ord 
nung invariant lässt, weshalb sie auch wesentlich verschieden sind. 
Nun suchen wir in derselben Weise die bei U 1} U 2 , U 3 invarianten 
Differentialgleichungen erster Ordnung. Sind es zwei, so ist die vor 
gelegte Gruppe auf die erste Form, ist es nur eine, so ist sie auf die 
zweite Form reducierbar. 
Reduction 
auf Typus 1. 
Zunächst mögen es zwei sein, d. h. U 1} U 2 , U 3 sei auf Typus 1 
reducierbar. Dieser Typus hat die Zusammensetzung: