Zuröckführung e. dreigl. Gr., deren erste deriv. dreigl. ist, auf ihre canon. Form. 509 
(F.F 2 )=F., (Fj F 3 ) = 2F 2 , (V 2 r 3 )=V 3 , 
wenn seine infinitesimalen Transformationen mit V x , V 2 , V 3 bezeichnet 
werden. Wir bringen daher die gegebene Gruppe auf dieselbe Zu 
sammensetzung und zwar in der allgemeinsten Weise, in der dies 
möglich ist. Zu dem Ende setzen wir etwa: 
U x = a x U x «2 £4 + a s , 
ü 2 = h x u x + b 2 u 2 + h 3 u 3 , 
Ü 3 = c x U x -j- c 2 U 2 -f- c 3 U 3 
und bestimmen die Constanteu a, h, c in allgemeinster Weise so, dass 
(ü x Ü 2 ) = U x , (ü 1 U 3 )e=2TI 2 , (Ü 2 ü 3 )=U 3 
wird. Dies ist offenbar ein rein algebraisches Problem und immer zu 
erledigen. Ist dies geschehen und ist etwa: 
Ei = li P + ViQ., U 2 = | 2 |) + r] 2 q, U 3 = £ 3 p + %q, 
so können die £ und ^ noch einige der Constanteu a, h, c als arbiträr 
enthalten. Es muss nun notwendig solche Functionen x und y von x 
und y geben, dass U x in V x , U 2 in V 2 und U 3 in V 3 , geschrieben in 
x und y statt x und y, übergeht, und zwar, wie man allgemein be 
weisen könnte, bei ganz beliebiger Wahl der noch arbiträren Con 
stanteu. Wir setzen also an: 
t K + v K = K + 
dx dy dx ^ dy’ 
dx • i ' 2 dy 
i d -L + v tf 
»» dx T 
- df , _ 
x + y 
if 
~dy’ 
-2 df , _2 df 
x 4 + V 1 Tr. 
dy M 8 x 1 9 dy 
Hieraus Hessen sich x und y durch Integrationen bestimmen, denn 
setzen wir f=x oder = y, so ergeben sich jedesmal Differential 
gleichungen für x, y. Aber wir können einfacher verfahren: Es sind 
dies drei Gleichungen, welche das Verschwinden der Determinante 
nach sich ziehen: 
h p + m 
i 2 p + 
IsP + 
oder: 
(J) — x) (l 3 P + %ff) + — x ) (liP + %??) — (v 2 — x 2 ) (| 2 P + V2?) = 0 
oder: 
(l 3 P + ViS) + «y(SiP + %2) — (x-hy) (§2P + ViQ) = 0. 
Andererseits besteht aber zwischen den drei infinitesimalen Trans 
formationen die Relation (vgl. § 1 des 7. Kap.): 
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