Zurückfuhrung e. dreigl. Gr., deren erste deriv. dreigl. ist, auf ihre canon. Form. 513 
xy 
X -f y = 
xy 
also: 
xy -f 1 
x 
X — y = 4- 
Wir können also entweder setzen: 
x = y, y = — 
oder: 
V = ?/■ 
In der That führen beide Yariabelnpaare die vorgelegte Gruppe auf 
Typus 1 zurück. 
2. Beispiel: Man soll die dreigliedrige Gruppe 
p, sin x • p -f- cos x • q, cos x ■ p — sin x • q 
auf ihre canonische Form bringen. Ihre erste derivierte Gruppe ist 
dreigliedrig, sie ist also auf Typus 1 oder 2 zurückzufübren. Wir 
bilden die Determinante der erweiterten Transformationen. Sie ist: 
1 0 0 
sin X cos x — sin x — y COS X 
cos x — sin x — COS x -f- y sin X 
Daher lässt die Gruppe nur die eine Differentialgleichung erster Ord 
nung = 0 invariant, die Gruppe ist mithin auf Typus 2 zu redu- 
cieren. In § 3 des 21. Kapitels haben wir schon dies Beispiel 
betrachtet. Danach nehmen wir die Gruppe in der Form an: 
U t = (1 -f- cos x) ■ p — sin x ■ q, U 2 = 2 sin x • p + 2 cos x • q, 
U 3 = (1 — cos x) • p -f- sin x • q. 
Wir stellen nun die Relation auf: 
— sin x 
2 cos x 
sin x 
= 0 
\ 1 -f- COS X 
T 2 2 sin x 
% 1 — COS X 
oder: 
(1 + cos x) U 3 + (1 
während andererseits 
U 3 + xfü^ -xü 2 = 0 
sein soll, wie oben in der allgemeinen Entwickelung. Somit haben wir: 
cos x) Ui — sin xU 2 = 0, 
x — 
1 — COS X 
1 + cos x’ 1 + COS X 
In der That ist die zweite Gleichung eine blosse Folge der ersten. 
Zur Bestimmung von y haben wir nun die Gleichungen: 
Lie, Differentialgleichungen. 33 
V