Zurückführung e. dreigl, Gr., deren erste deriv. eingl. ist, anf ihre canon. Form. 527 
SiJV + Viü 
II 
««£11 —h» 
liP + %q 
df 
~~ dx’ 
kp + w 
_ - dl 
' öy 
Hiernach wird : 
- ls 
= 3» 
und f=y liefert: 
Vi 
^ Tx + ^ 
dy i 
dy Aj 
^ Wx + ^ 
3 -l = 0 
Sy u ’ 
woraus y durch eine Quadratur berechnet wird. 
In jedem Falle reichen also auch jetzt algebraische Operationen 
und höchstens Quadraturen zur Reduction der vorgelegten Gruppe 
aus. Es ist hierbei, wie in § 2 und § 3, zu bemerken, dass die U 
noch völlig willkürliche Constanten enthalten, demnach auch in den 
Werten von x und y solche auftreten. Sicherlich giebt es gewisse 
Werte der Constanten, für die x, y in der That diejenigen neuen Ver 
änderlichen sind, welche die Reduction leisten. Man würde sie in 
jedem Falle durch wirkliche Einsetzung von x und y in die U rein 
algebraisch bestimmen können. Aber man kann beweisen, dass diese 
Constanten in der That gänzlich willkürlich gewählt werden dürfen. 
Doch gehen wir darauf nicht ein. 
Beispiel: Die Gruppe Beispiel. 
p, yp, yq 
soll in allgemeinster Weise auf ihre canonische Form zurückgeführt 
werden. Hier ist: 
(№ = 0, (UMeeeO, {U 2 TJ 3 )=-ü 2 . 
TJ 2 = yp also stellt die erste derivierte Gruppe dar. Da TJ 2 nicht 
mit U t und U 3 vertauschbar ist, so ist der zugehörige Typus sicher 
nicht der dritte. Nun besteht zwischen den infinitesimalen Trans 
formationen der Gruppe nur die folgende Relation 
ü x — -U 2 = 0 
1 y 2 
I und es ist (U± U 2 ) = 0. Daher ist die Gruppe auf den zweiten Typus 
q, xq, xp + yq 
reducierbar. Wir haben nun zu setzen: