Gew. Diffgln. zweiter Ord , welche eine dreigl. Gruppe gestatten.
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ox 1 '
dy
8y
1
berechnet. Bekanntlich erfordert letzteres die Integration der ge
wöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung
dx dy
l V
und eine Quadratur.
Das Gesamtergebnis der §§ 2 bis 5 ist dieses: :
Theorem 47: Die Zurüchführung einer dreigliedrigen Gruppe
von infinitesimalen Transformationen der Ebene, welche nicht
sämtlich dieselben Bahncurven haben, auf ihre canonische Form
erfordert ausser ausführbaren Operationen höchstens einige
Quadraturen. Haben jedoch alle infinitesimalen Transfor
mationen der Gruppe dieselben Bahncurven, so verlangt die
Zurüchführung unter Umständen auch die Integration einer
getvöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung in zwei
Ve r änderlic h e n.
Kapitel 24.
Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung
in x, y, welche eine bekannte dreigliedrige Gruppe von infinite
simalen Transformationen gestattet.
In § 1 des vorigen Kapitels skizzierten wir den Weg, auf welchem
eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung in x, y, welche
eine bekannte dreigliedrige Gruppe von infinitesimalen Transformationen
gestattet, integriert werden kann: Zunächst bringen wir die dreiglie
drige Gruppe, welche eine der in §§ 2, 3, 4 des vorigen Kapitels be
trachteten ist, auf ihre canonische Form. Die Bestimmung der dazu
nötigen neuen Veränderlichen verlangt nach Theorem 47 (§ 5 des
23. Kap.) ausser ausführbaren Operationen höchstens einige Quadraturen.
Durch Einführung der neuen Veränderlichen geht die vorgelegie
Differentialgleichung in eine solche über, welche bei einer der typischen
dreigliedrigen Gruppen invariant bleibt. Es fragt sich demnach nur
noch, wie mau diejenigen Differentialgleichungen zweiter Ordnung in
zwei Veränderlichen integriert, welche einen der Typen von dreiglie
drigen Gruppen von infinitesimalen Transformationen gestatten.
Wir werden daher die bei jedem der Typen invarianten Differen
tialgleichungen zweiter Ordnung aufstellen und zu integrieren suchen.
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