Gew. Diffglgn. zweiter Ord., welche Typus 1 oder 2 gestatten. , 533 
2y*-2y -3f+2yY{y') = 0. 
Dies ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung in f und y, 
deren Integration in bekannter Weise liefert: 
f= — 2y' — 2ay Yy — 2y' 2 , 
sodass die gesuchte Differentialgleichung zweiter Ordnung lautet: 
" , 2 y + «y Vy‘ + yj _ 0 
" 1 x — y 
a ist darin eine beliebige Constante. 
Es fragt sich nun, wie man diese gefundene Differentialgleichung 
zweiter Ordnung integriert. Dazu verwerthen wir die Thatsache, 
dass sie die zweigliedrige Gruppe 
p + g, %p + yq 
gestattet, wo (p + q, xp + yq) =p + <1 ist. Nach § 4 des 20. Ka 
pitels fangen wir die Integration also so an. Wir bilden: 
und erweiteren unsere beiden infinitesimalen Transformationen: 
Uif = P + q, 
U 2 f=xp -f- yq. 
Durch Erweiterung tritt kein Glied mit q hinzu, 
gral ist daher: 
Ein erstes Inte- 
dx dy dy 
f <*> 
(1 — y)dy 
O)' 
Л du , 
x “ J \ u 2{y -f ay 
1 1 0 
x y 0 
2(2/' + ay Vv’ + V 
Die Ausführung der Quadratur liefert das Integral 
\g{x — y) + \ lg y — lg (1 + aVy + y) 
oder also das Integral: 
_ (a — y) Vy 
1 + a}/y' + y 
Mau kann nun fernerhin die Gleichung 
integrieren. Bezeichnet man nämlich ——^—- mit v, so kommt 
durch Auflösung der letzten Gleichung nach y: