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Gew. Diffglgn. zweiter Ord., welche Typus 1 oder 2 gestatten. 535 
Nach der ersten enthält tu nur y und y, sodass sich die zweite re- 
duciert auf: 
Diese ist äquivalent dem simultanen System: 
dy dy d lg co 
T 3 * 
d lg ca 
3 
das die beiden Integrale yy und ~ besitzt, sodass tu die Form hat: 
y 
a = y 3 f\yy). 
Sonach giebt die dritte Bedingung 
3 f{yy') + yyf'iyy) = 0, 
Die gesuchte Differentialgleichung zweiter Ordnung lautet daher so: 
n ß /"v 
y y3 
Wir könnten diese Differentialgleichung mit Benutzung des Um 
standes, dass sie die zweigliedrige Gruppe p, 2xp -f- yq gestattet, 
nach unserer allgemeinen Theorie integrieren. Aber die Integration 
ist auch ohne diese sehr einfach. Die Gleichung lässt sich so schreiben: 
und liefert integriert: 
V 2 + = Const. = h. 
J 1 yi 
Es kommt also: 
, y by* — a 
y — „ > 
J Yby* — a ■ 
als vollständige Integralgleichung. Die Ausführung der Quadratur giebt: 
y ]/hy 2 — a — x — c 
hy 2 = b 2 (x + cf -f- a. 
— X = c 
oder 
Liegt eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung vor, 
die eine Gruppe von infinitesimalen Transformationen vom Typus 2 ge 
stattet, so integrieren wir sie also dadurch, dass wir canonische Ver 
änderliche einführen, wozu einige Quadraturen hinreichen (vgl. § 2 
des 23. Kap.), denn alsdann nimmt sie die eben betrachtete integrabele 
Form au.