Construction einer Gruppe aus einer infinitesimalen Transformation. 33 
! ist, da sie sich 
lannte stationäre 
ung der Massen- 
das gerade an 
telement dt den 
ch seine Coordi- 
¡eit t wollen wir 
ud voraussetzeu, 
0 an der Stelle 
g zur Zeit t an 
js die Stelle, in 
während die in 
lies gilt für alle 
, y x sind Func- 
Wenn t um dt 
t aus den beiden 
», 2/i = 2/ sein, 
und y l gewisse 
ngt nun leicht, 
len. Denn wenn 
ie Punkte [x, y) 
er Zeit t 2 diese 
so leuchtet ein, 
1 t x -\- t 2 die ur- 
•führt, analytisch 
en (t x ) und (t 2 ) 
äquivalent einer 
Schar (12) stellt 
Jetzt wollen wir diese nicht ganz streng formulierte kinematische 
Betrachtung verlassen und sie durch ein strenges analytisches Raison 
nement ersetzen. 
Die beiden Differentialgleichungen 
dx x 
dt = IOi,«/i)> ‘jf = v(Xi,y i ) 
bestimmen x x und y x als Functionen von t und von den zu t = 0 
gehörigen Anfangswerten, als welche wir x x = x, y x = y wählen. Um 
diese Functionen x x , y x zu bestimmen, braucht man nur das simultane 
System 
dx x dy x 
Analytische 
Herstellung 
einer ein 
gliedrigen 
Gruppe. 
(U) 
dt 
mit den vorgeschriebenen Anfangs werten: x x = x, y x — y für t = 0 
zu integrieren. 
Da der Differentialquotient ~ = ^(x lf y 1 ) für ¿==0 den Wert 
%(x,y) annimmt, so erhalten die Integralgleichungen 
(!2) x x = &{x, y, t), y x = W{x, y, t), 
wenn sie nach Potenzen von t entwickelt werden, offenbar die Form 
( 12 ') \ x t = x + l(x, y)t 
Wi =V + , 
und sie stellen oo 1 Transformationen der x, y in die x lf y x dar. Wir 
wollen jetzt rein analytisch beweisen, dass diese Transformationen 
eine eingliedrige Gruppe mit dem Parameter t bilden. Um den 
Beweis zu liefern, müssen wir uns mit der Art der Integration des 
Systems (11) etwas näher beschäftigen. 
Zur Integration kann man so verfahren: Zunächst besitzt die 
Differentialgleichung zwischen x x und y x \ 
dx x dy x 
& tp'i > Vi) 1 1 (x x , y x ) 
ein Integral &(x x , y x ), das, da es frei von t ist, auch Integral des 
ganzen simultanen Systems (11) sein muss.. Um nun ein zweites 
Integral des Systems zu finden, das nicht frei von t ist, hat man 
vermöge 
&(x,, y x ) = c (= Const.) 
etwa y x aus 
dx x 
£{x x ,y x ) 
— dt 
zu eliminieren und die entstehende Differentialgleichung zwischen x x 
und t (die ausserdem im allgemeinen noch c enthält) zu integrieren. 
Dies geht, da die linke Seite frei von t ist, durch eine Quadratur und 
Lie, Differentialgleichungen. o