Zusammenfassung d. Ergehn. Vermeidung d. Reduction auf can. Formen. 539 
. n df . , df , df 
Ä f= Vx + y Ty + “ 87 — % 
die drei einmal erweiterten infinitesimalen Transformationen Uff, 
Uff, Uff (Vgl. Satz 7, § 3 des 16. Kap.) Es besteht aber zwischen 
vier Symbolen in drei Veränderlichen, wie hier zwischen Af, U l f, 
Uff, Uff immer eine lineare Relation, etwa diese: 
Uff = Mj Uff -f u 2 Uff + vAf, 
wo sich u 1} u 2 nnd v als Functionen von x, y, y auf algebraischem 
Wege berechnen lassen. Nach Theorem 31 (§ 3 des 15. Kap.) sind 
alsdann, vorausgesetzt, dass nicht schon zwischen Uff, Uff und Af 
eine lineare Relation besteht, die Coefficienten und u 2 Lösungen 
von Af = 0. Um zu erkennen, ob dieselben in den einzelnen Fällen 
auch unabhängig von einander sind, nehmen wir jetzt vorerst die 
Gruppe U x f, UJ\ U 3 f in ihrer cauonischen Form an. 
Ist dies die Gruppe p + q, xp + yq, x 2 p + y 2 q, so ist nach dem 
Obigen: 
also: 
03 = 
2 y + a y ^ y ' + y i 
x — y ’ 
. . /■ c V + ayf ]/V + ?/ 2 / 
Af =p + yq-2 y ^ ~ 7 
Uff = p + q, 
Uff = xp + yq, 
Uff=x 2 p + y 2 q -f 2{y — x)yq, 
wo q=^-~, sein soll. Hier besteht zwischen Af, Uff und Uff keine 
lineare Relation, wohl aber lässt sich Uff linear durch diese äus- 
drücken. Berechnen wir nämlich aus den ersten drei Gleichungen 
p, q und q und setzen die gefundenen Werte in Uff ein, so kommt: 
U t 'f = — \xy + (y — xy)\Ui'f + [x + y + ^~ (1 — !0) Vif — 
_ 2 Af 
CO 
Hierin sind die Coefficienten von Uff und Uff wegen des obigen 
Wertes von co von einander unabhängig und sie stellen also gleich 
Const. gesetzt die Integralgleichungen von y"— tu = 0 dar, aus denen 
man durch Elimination von y die gewünschte Gleichung zwischen 
x, y und zwei Coustanten erhält. 
Sobald also die Gruppe ü x f, U 2 f, U 3 f zum soeben betrachteten 
Typus gehört, giebt die Relation: 
Uff= u x Uff + m 2 Uff + vAf