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Kapitel 24, § 3. Kapitel 25, § 1. 
Beim Typus q, xq, p -f- yq ist o = ae x und die einzige Relation 
lautet: 
Uff= (y + axe* — y — xy) Uff-\- {y - ae x ) Uff + Af 
Sie giebt zwei von einander unabhängige Lösungen, auch wenn 
a — 0 ist. 
Endlich beim letzten Typus p, q, xq ist a =: a und es existiert 
nur diese Relation: 
'f=-±u l 'f-{f i -x)u;f+±Af. 
Sie ergiebt nur eine Lösung — x von Af—O, sobald a ={= 0 ist. 
Für a = 0 haben wir 
Uff=-yüff+Af 
und so ergiebt sich auch dann nur eine Lösung von Af=0. 
Wir sehen also: Nur in wenigen Ausnahmefällen liefern die 
Relationen zwischen Af und den JJ'f nicht zwei von einander unab 
hängige Lösungen. Sehen wir von diesen Ausnahmefällen ab, so folgt, 
dass wir, ohne die canonischen Varidbeln einzuführen, die vorgelegte Dif 
ferentialgleichung durch rein algebraische Prozesse integrieren Icönnen, 
denn die Relationen, welche zwischen Af und Uff, Uff, Uff be 
stehen, lassen sich stets aufstellen, ohne dass man nötig hat, zu den 
typischen Formen seine Zuflucht zu nehmen. 
Tn den bezeichneten Ausnahmefällen werden wir dagegen nur 
eine Lösung der Gleichung Af — 0 auf rein algebraischem Wege 
finden, während sich eine zweite nach unseren früheren Theorien durch 
Quadratur bestimmen lässt. 
Kapitel 25. 
Lineare partielle Differentialgleichungen in vier Veränderlichen und 
gewöhnliche Differentialgleichungen dritter Ordnung in x, y. 
Vom 16. Kapitel an haben wir uns mit der Integration von ge 
wöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung in x, y beschäftigt, 
indem wir voraussetzten, dass sie eine bekannte eingliedrige (16. Kap.) 
oder eine bekannte zweigliedrige (18. bis 20. Kap.) oder endlich eine 
bekannte dreigliedrige Gruppe von infinitesimalen Transformationen 
(24. Kap.) gestatten sollten. In ähnlicher Weise könnten wfir fort 
fahren. Wir wollen uns jedoch statt dessen in diesem Kapitel mit 
den gewöhnlichen Differentialgleichungen dritter Ordnung und ihrer