Integration beschäftigen für den Fall, dass sie eine bekannte drei 
gliedrige Gruppe von infinitesimalen Transformationen gestatten. Dies 
erfordert einige Vorbereitungen in den folgenden §§ 1 und 2. 
§ 1. Über das Problem der Integration von gewöhnlichen Differential 
gleichungen dritter Ordnung mit bekannter dreigliedriger Gruppe. 
Zunächst fragt es sich, was es überhaupt heisst, dass eine ge- ^Te^fne 0 
wohnliche Differentialgleichung dritter Ordnung 
y" — 03 (x, y,y,y") = 0 
eine infinitesimale Punkttransformation Uf=ip-\-yq gestattet. Sie 
gestattet sie dann und nur dann, wenn sie die oo 3 Integralcurven 
unter einander vertauscht oder, was auf dasselbe hinauskommt, wenn 
die dreimal erweiterte infinitesimale Transformation Uf der linken Seite 
der Differentialgleichung ein Increment erteilt von der Form: 
9(y"'~ 03)dt, 
wo p irgend ein offenbar von y" freier Factor ist. Natürlich bedarf 
es eigentlich eines Beweises, dass diese beiden Thatsachen sich mit 
einander decken, aber wir verzichten darauf. Der Beweis ist ganz analog 
dem Beweise, die wir für den Fall einer Differentialgleichung zweiter 
Ordnung gaben. Wir werden überhaupt noch einige unbewiesene Sätze 
in diesem Kapitel benutzen. Die Entwickelungen dieses Kapitels 
sollen eben nur dem Leser einige Einblicke in weitere Theorien ge 
währen und ihn zu tiefergehenden Studien vorbereiten. 
Es lässt sich nun zweitens darthun, dass, wenn die Differential 
gleichung 
y" - 03 0, y, y, y) = 0 
die infinitesimale Transformation 
Uf= lp + gq 
gestattet, alsdann auch die lineare partielle Differentialgleichung in vier 
Veränderlichen x, y, y, y": 
df 
. r df . , df , df , 
A f=d^ + y Ty + y W +C ° 
Sy" °’ 
die der Gleichung y"— co = 0 äquivalent ist, die infinitesimale Trans 
formation 
U"f= + vq + ni + ni 
gestattet, welche aus Uf durch zweimalige Erweiterung hervorgeht, und 
umgekehrt. Auch diesen ziemlich selbstverständlichen Satz geben wir 
ohne Beweis an. 
Wir wollen uns das Problem stellen, eine vorgelegte gewöhnliche