Integration einer linearen pari. Differcntialgl. Af — 0 in vier Veränderl. 545 
es sich darum handelte, eine lineare partielle Differentialgleichung in 
drei Veränderlichen mit bekannter zweigliedriger Gruppe zu inte 
grieren. Wie wir dort den Begriff eines zweigliedrigen vollständigen 
Systems in drei Veränderlichen benutzten, so werden wir in der Folge 
von dem Begriff eines dreigliedrigen vollständigen Systems in vier Ver- ®oii?tänd r ' 
änderlichen Gebrauch machen müssen. Daher wollen wir ihn hier Sjstein ' 
kurz auseinandersetzen, auf nähere Begründung verzichtend. 
Eine lineare partielle Differentialgleichung Af — 0 in vier Ver 
änderlichen besitzt bekanntlich drei von einander unabhängige Lösungen, 
und jede Function derselben ist eine Lösung. Untersucht man, wann 
drei von einander unabhängige (vgl. § 2 des 10. Kap.) lineare par 
tielle Differentialgleichungen 
AJ= 0, A 2 f= 0, A 3 f= 0 
in vier Veränderlichen mindestens eine gemeinsame Lösung besitzen, 
so findet man, dass dazu notwendig und hinreichend ist, dass die 
(AiA k ) = 0 nur Folgen der drei Gleichungen sind, d. h. die (A { Af) 
sich linear mit von 00^ • • • 00 ^ abhängigen Coefficienten durch A t f } A 2 f A 3 f 
ausdrücken lassen. Alsdann besitzen sie auch nur eine gemeinsame 
Lösung, d. h. keine von ihr unabhängige ausserdem, und werden ein 
dreigliedriges vollständiges System in vier Veränderlichen genannt. Zur 
Auffindung ihrer gemeinsamen Lösung verfährt man ganz ebenso wie 
bei den zweigliedrigen vollständigen Systemen in drei Veränderlichen 
(vgl. § 3 des 10. Kap.). 
Auf die Beweise gehen wir, wie gesagt, nicht näher ein, sie sind 
analog denen des 10. Kapitels. 
§ 2. Integration einer linearen partiellen Differentialgleichung Af — 0 
in vier Veränderlichen, welche eine bekannte dreigliedrige Gruppe 
von infinitesimalen Transformationen zulässt. 
Wir wollen also nunmehr annehmen, es sei eine lineare partielle 
Differentialgleichung 
Af= ocdh + «2^2 + Vlh + «4 Pi = 0 
vorgelegt, in der 
_ df _ df __ df _ df 
P 1 dx t ’ ^ d Xj ’ dx % ’ d x A 
ist und die a gegebene Functionen der vier Veränderlichen x 1} x 2 , x 3 , ¡r 4 
bedeuten. Ferner sei vorausgesetzt, diese Differentialgleichung gestatte 
eine bekannte dreigliedrige Gruppe von infinitesimalen Transforma 
tionen in den x i • • • # 4 . 
Lie, I)ifferentialgleichtiii"on. 
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