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Kapitel 25, § 2. 
Zerteilung 
deg Pro 
blems. 
Wir haben im 21. Kapitel alle möglichen Zusammensetzungen 
von dreigliedrigen Gruppen von infinitesimalen Transformationen be 
trachtet, und zwar waren unsere damaligen Überlegungen, wie be 
sonders hervorgehoben wurde, völlig unabhängig von der Anzahl der 
Veränderlichen. Demgemäss können wir aus dem 21. Kapitel ent 
nehmen, dass eine dreigliedrige Gruppe von infinitesimalen Transfor 
mationen in x x , x 2 , x 3 , ¡r 4 durch passende Auswahl der infinitesimalen 
Transformationen, die wir jetzt mit X x f, X 2 f, X 3 f bezeichnen wollen, 
so geschrieben werden kann, dass die Zusammensetzung eine der fol 
genden Formen hat (vgl. § 3 des 21. Kapitels): 
1) (^XJeeeX, (X 4 X 3 )eee2X 2 (X 2 X 3 ) = X 3 
{X x X 3 ) = X x 
(X^eeeX, 
(X^eeO 
ÄJQeeO 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
(Z x X 2 ) = 0 
(X t X 2 ) = 0 
(X^ÜEEEO 
(X x X 2 ) = 0 
(X 1 X 2 ) = 0 
(X 2 X 3 ) = c X 2 (c -|= o) 
(Z 2 Z 3 ) = X, + x 2 
(X 2 X 3 )eeeO 
(X 2 X 3 ) = X 1 
(X 2 X 3 )eeeO. 
Wir haben nun nacheinander diese sechs Möglichkeiten ins Auge zu 
fassen. 
Die drei infinitesimalen Transformationen 
Xk = %klPi + 1*2 .£>2 + ZksPs + £*4 P^ 
(* = 1, 2, 3) 
sollen natürlich wesentliche für die Gleichung Af — 0 sein, und über 
dies soll keine lineare Relation zwischen ihnen und Af bestehen (vgl. 
§ 3 des 15. Kap.), mit anderen Worten, es soll die Determinante 
a x a 2 a 3 a 4 
/J __ £ll ^12 Sl8 ^14 _|_ q 
^21 ^22 ^23 ^24 
I3I ^32 ^33 ^34 
sein. 
Den Fall der Zusammensetzung 1 wollen wir, da er Besonderes 
darbietet, erst zum Schluss behandeln und also beginnen mit der 
zusammen-Zusammensetzung 2: 
Setzung 2. 
(X x X 2 ) = 0 (X x X 3 ) = X x (X 2 X 3 ) = cX 2 (0=1= 0). 
Bestehen diese Relationen zwischen den X k , so bilden 
Af= 0, XJ=0, X 2 f=0 
ein vollständiges dreigliedriges System, denn es ist ja jedes 
{X k A) = hAf