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Kapitel 2, § 4. 
giebt ein Integral von der Form F(x x , c) — t Dies ist aber noch kein 
Integral des Systems (11). Vielmehr muss erst wieder c vermöge 
Sl — c fortgeschafft werden. Dadurch geht dann ein zweites Integral 
des Systems (11) hervor von der Form 
W(x lf y x ) - t 
Als Anfangsbedingung wurde festgesetzt, dass für t — 0 auch 
x x — x, y 1 = y sein soll. Demnach stellen die Gleichungen 
= &(*, y), 
\W{x l ,y 1 )-t=W{x,y) 
das Ergebnis der Integration dar. Durch Auflösung derselben nach 
x x und y x ergeben sich dann die Integralgleichungen in der Form (12). 
der Gruppen Wir behaupteten nun, dass diese eine eingliedrige Gruppe mit 
eigensohaft. c | em Parameter t darstellen. Dies geht aus der Form der nicht auf 
gelösten Gleichungen (13) unmittelbar hervor: 
Denn die Transformation der Schar (12) oder (13), welche dem 
Parameter t zugehört, führt die Punkte (x, y) in die Punkte (x X) y x ) 
über, die sich aus (13) bestimmen. Eine zweite Transformation der 
selben Schar mit dem Parameter t x wird die Punkte {x x , y x ) weiter 
in die Punkte (x 2 , y 2 ) überführen, deren Coordinaten sich aus den zu 
(13) analogen Gleichungen 
^ix 2) Vs) ~ Vl) 7 
(14) 
W{x 2 , y 2 ) — t x = W(x x , y x ) 
berechnen lassen. Will man nun die Transformation haben, welche 
sofort die Punkte {x, y) in die Endlagen (x 2; y 2 ) bringt, so hat man 
nur aus (13) und (14) die Zwischenwerte x x , y x zu eliminieren. Dies 
macht sich sehr leicht, es kommt: 
* ß (x 2 , yg) = H (x, y), 
. W(x 2 ,y 2 )-{t + t x ) = W{x,y). 
Aber diese beiden Gleichungen stellen, nach x 2 und y 2 aufgelöst, nichts 
anderes dar, als die Transformation mit dem Parameter t -f- t x , welche 
der durch (13) bestimmten Schar von oo 1 Transformationen angehört. 
Jene Schar hat also in der That die Gruppeneigenschaft. 
Diese eingliedrige Gruppe enthält auch zu jeder Transformation 
mit beliebigem Parameter t die inverse. Letztere ist die mit dem 
Parameter — t, denn beide nach einander ausgeführt geben ja die 
Transformation mit dem Parameter t — t = 0, d. h. die, für welche 
Ufa, y x ) = y), W(x x , y x ) = W(x, y) 
oder x x = x, y x = y ist, also die identische.