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Kapitel 25, § 2. 
dx x dx 2 dx 3 dx x 
Hiermit ist eine Lösung von Af = 0 gefunden. Diese wird nun von 
dreien der Veränderlichen x x , x 2 , x 3 , x 4 , etwa von x x , x 2 , x 3 , un 
abhängig sein. Wir können dann x x , x 2 , x 3 und cp als neue Ver 
änderliche benutzen. Da 4^ = 0, X x q> = 0, X 2 cp = 0 ist, so werden 
die neuen Af, X x f, X 2 f, die mit Af, X x f, X 2 f bezeichnet werden 
mögen, frei von einem Gliede in ~ sein, also die Form haben: 
X f—- £ i t °f [ t df 
2 ' * 21 dx, ® 22 8x 2 ‘ ^ 23 dx a 
Die u und £ sind genau die früheren mit der einzigen Änderung, dass 
x 4 vermöge cp — cp(x x , x 2 , x 3 , xf) aus ihnen eliminiert und dafür cp 
eingeführt worden ist. Nach wie vor ist jetzt: 
(X 1 A) = k t Af; (X 2 A) = l 2 Af, (X x X 2 ) = 0. 
Unser jetziges Problem ist also dies: Es sollen zwei von einander 
unabhängige Lösungen der Gleichung Af = 0 gefunden werden, welche 
die mit einander vertauschbaren infinitesimalen Transformationen X x , X 2 
gestattet. Af — 0 enthält nur drei Grössen als eigentliche Variabein, 
nämlich x x , x 2 , x 3 . cp spielt in Af= 0, wie in X x , X 2 , da es nicht 
transformiert wird, nur die Rolle einer arbiträren Constanten. Schliess 
lich ist noch die Determinante aus Af, X x f, X 2 f nicht identisch Null. 
Da wir uns jetzt im Gebiet dreier Variabein x x , x 2 , x 3 befinden, 
recurrieren wir auf § 2 des 20. Kapitels und entnehmen daraus, dass 
zwei Lösungen cfj und i von Af ~ 0 durch je eine Quadratur ge 
funden werden, die von einander unabhängig sind. Schliesslich ist in 
$ und 'i für cp wieder die früher gefundene Function von 00-^ y y 
einzusetzen, wodurch dieselben in von einander und von cp unab 
hängige Lösungen von Af = 0 übergehen. 
Die Integration von Af — 0 erfordert also zunächst eine Qua 
dratur und darauf zwei von einander unabhängige Quadraturen.