Integration einer linearen part. Differentialgl. Af — 0 in vier Verändert. 549 
Wir wollen gleich hier die Zusammensetzung 4 
(X t X 2 ) = 0, (X 1 X 8 ) = X 1 , (X 2 X,) = 0, 
die mit dem Falle c — 0 in Zusammensetzung 2 identisch ist, erledigen. 
Wenn die dreigliedrige Gruppe diese Zusammensetzung hat, so bilden 
wie vorher 
Af= 0, X x f = 0, X 2 f=0 
ein dreigliedriges System in vier Veränderlichen, deren Lösung cp so 
angenommen werden kann, dass wird. cp wird daun wie 
oben durch eine Quadratur bestimmt. Es bilden aber auch 
Af — 0, X x f = 0, X 3 f = 0 
ein vollständiges System, dessen Lösung ip sicher unabhängig von cp 
ist, da sonst auch X 2 ip = 0 wäre. Analog dem Obigen ergiebt sich 
hier, dass — was im Falle c 4= 0 wegen {X 2 Xf) = cX 2 f nicht so 
gewesen wäre — X 2 tp eine Function von ip allein ist, d. h. cp so ge 
wählt gedacht werden kann, dass X x cp = 1 wird. Demnach geht cp ganz 
analog dem cp durch eine Quadratur hervor: 
*P = — 
Diese Quadratur ist von der vorigen unabhängig. Nun sind cp und cp 
etwa zusammen mit x X) x 2 von einander unabhängig. Alsdann werden 
sie als neue Veränderliche eingeführt. Da Acp = Acp = 0 und auch 
X x cp = X x cp = 0 ist, so werden die neuen Af und X x f cp und cp nicht 
transformieren, also von der Form sein: 
= df i = df n 
Af—«i + ß 2 g. 
dx x 
dx 2 
dx3 
dx x 
«i 
a 2 
■a 3 
«4 
I12 
£13 
£14 
£31 
£32 
£33 
534 
X x f=\ 
4-1 
^ 5l2 dx 9 
1 dx x 
cf 
511 dx, 
Hier sind die af und £ aus den früheren a und % dadurch gebildet, 
dass x 3 und x x vermöge cp = cp{x x • • • x 4 ), cp = cp(x x ■ • • xf) eliminiert 
werden. Äf=0 gestattet X x f Beide enthalten nur zwei wirklich 
als Variabein auftretende Grössen, nämlich x x , x 2 . Die Lösung von 
J.f = 0 ergiebt sich also nach § 1 des 6. Kap. durch eine Quadratur. 
Indem man in dieselbe für cp und cp wieder die gefundenen Functionen 
von x x • • • x x substituiert, geht aus ihr die gesuchte dritte Lösung i 
von Af = 0 hervor. Die Integration von Af — 0 erfordert mithin