Integration einer linearen part. Differentialgl. Af — 0 in vier Verändert. 551 
dem eben angegebenen Falle. Af = 0 wird somit durch zwei von 
einander unabhängige und eine dritte darauffolgende Quadratur integriert. 
Wenn schliesslich die X k die Zusammensetzung 6 haben: 
Zusammen 
setzung 6. 
(X,X 2 ) = 0 (X 1 X 3 )eeeO (X 3 Xj) = 0, 
so bilden 
Af — 0, X x f = 0, = 0 
ein vollständiges System, für dessen Lösung cp auch X 3 cp = 1 an 
genommen werden darf. cp bestimmt sich also durch Quadratur. 
Analog bestimmen sich die Lösungen ^ und % der beiden vollständigen 
Systeme 
und 
Af= 0, X x f = 0, X z f = 0 (wo^ = l). 
Af= 0, X 2 f~= 0, X 3 f = 0 (woI^=l) 
durch je eine Quadratur. Af=0 wird also in diesem Falle durch 
drei von einander unabhängige Quadraturen integriert. 
Nunmehr bleibt nur noch der oben ausgeschlossene Fall zu unter 
suchen, in welchem die X* die Zusammensetzung 1 haben: 
( < X l X 2 ) = X x (X x X 3 ) = 2X 2 (X 2 X 3 ) = X 3 . 
Wir behaupten, dass es in diesem Falle eine Lösung cp von Af= 0 
giebt, für welche 
A<p = 0, X x cp = 1, X 2 cp = cp, X 3 cp = cp 2 
wird. Ist nämlich cp eine Function von x { , x 2 , x 3 , x x , die durch die 
Gleichung 
f(x x , X 3 , X i: cp) = c (C = Oonst.) 
definiert sei, so bilden wir die vier Gleichungen: 
Zusammen 
setzung 1. 
A f=Af 
df , df , df , df n 
^ W, + “ 3 dX 3 + ^ '°» 
y f f a. KL = t XL-A-t AL £ AL -J_ fc AL _j_ = 0 
f / 1 ^ (p * ^11 ^ ^ ^12 gQy * ^13 p nn ' ^14 p /y> * p m * 
df_ 
511 dx t 
x 2 f=x 2 f+<p 
^¿f=X 3 f-\-cp 
df 
dcp 
*df 
521 dx l 
, df 
K 
dx 2 
K 
122 d x 2 
df 
dj_ 
dxn 
K 
dx,, 
OX i 
df 
KL 
dx 3 
df 
d<p — 631 dx x ^ 32 dx 2 ^ 33 dx 3 _r 684 dqp 
+ 
¿7 
dx 4 
, *. Of , v cp , df n 
*’ ^ 23 3ic Q ' ^ 24 ^ dcp ’ 
+ 9> 2 £=0. 
Es sind dies lineare partielle Differentialgleichungen in fünf Veränder 
lichen ir 2 , x 3 , x X) cp, und es ist: