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aber noch kein 
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zweites Integral 
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derselben nach 
. der Form (12). 
ige Gruppe mit 
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3), welche dem 
Punkte (x 1} yf 
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(x 1} yf weiter 
sich aus den zu 
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iminieren. Dies 
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¡Ionen angehört, 
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Transformation 
st die mit dem 
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y) 
Construction einer Gruppe aus einer infinitesimalen Transformation. 35 
Erinnern wir uns ferner daran, dass die gefundene Gruppe auch 
durch die Gleichungen (12') darstellbar ist, so erkennen wir noch, 
dass sie (wenn t unendlich klein angenommen wird) eine infinitesimale 
Transformation 
x = x + l{x,y)8t-\ , y=y -f n(x,y)8t-\ 
enthält, die mit der vorgelegten infinitesimalen Transformation (9) in 
den unendlich kleinen Gliedern erster Ordnung übereinstimmt. 
Die Entwickelungen (12') der endlichen Gleichungen unserer 
Gruppe werden durch das simultane System (11) bestimmt und es ist 
nicht schwer, auch die Coefficienten von anzugeben. Nach dem 
Maclaurin’sch en Satze sind diese nämlich und für t = 0 
, dt 1 dt 3 
Nun aber liefert (11): 
Wir formulieren nunmehr unsere Ergebnisse in dem 
Theorem 1. Jede infinitesimale Transformation 
x i = x + t( x , y)$t + • • *, y x — y + rj(x, y)dt -j- • • 
gehö't tj wenn von unendlich hieinen G-rössen zweiter und höherer 
Ordnung algesehen wird, mindestens einer eingliedrigen Gruppe 
mit paarweis inversen Transformationen an. Die endlichen 
Gleichungen dieser Gruppe ergehen sich durch Integration des 
simultanen Systems 
mit der Anfangsbedingung, dass x l = x, y x = y für t = 0 sein 
soll, in der Form 
Vx) = &{ x , y), 
Wfa ryJ—t — Wfay), 
oder, nach x x und y t aufgelöst und nach t entwickelt, in der 
aber noch kein 
ider c vermöge 
zweites Integral 
für t — 0 auch 
Lungen 
derselben nach 
. der Form (12). 
ige Gruppe mit 
i der nicht auf- 
3), welche dem 
Punkte (x 1} yf) 
asformation der- 
(x lf yf) weiter 
sich aus den zu 
l haben, welche 
igt, so hat man 
iminieren. Dies 
aufgelöst, nichts 
r t -f- t x , welche 
Honen angehört, 
ihaft. 
Transformation 
st die mit dem 
rt geben ja die 
die, für welche 
y) 
Form: