560 
Kapitel 25, § 3. 
Beispiele. 
Lineare 
Diffgl. 
dritter 
Ordnung. 
Durch diese zwei Quadraturen hat sicli also etwa ergeben: 
<p{y, v") = a , 
i>{y, y, y") = &• 
Eliminiert man hieraus y", so kommt eine Relation 
y = x(y, a , V) 
deren Integration: 
SiS^b)= x + c 
die vollständige Integralgleichung liefert. 
Diese Methode erfordert also nur drei Quadraturen, von denen 
sogar die beiden ersten von einander unabhängig sind. Allerdings 
haben wir zunächst vorausgesetzt, dass die canonisclien Veränderlichen, 
deren Bestimmung ja eine Quadratur erfordert, schon eingeführt seien. 
Aber diese Voraussetzung ist offenbar unnötig, wir hätten dieses 
zweite Integrationsverfahren auch für beliebige Veränderliche genau 
ebenso durchführen können. 
Wir werden nun auf die Behandlung der übrigen Fälle nicht 
weiter eingehen, ihre Durchführung vielmehr dem Leser überlassen. 
Doch sollen zwei Beispiele zu unseren Theorien hier Platz finden. 
1. Beispiel: Vorgelegt sei die allgemeine lineare Differentialglei 
chung dritter Ordnung 
(1) y"- X 2 ,f- Xd - X„y - X = 0, 
in der X, X 0 , X u X.. gegebene Functiouen von x allein bedeuten. 
Bekanntlich nennt man die Differentialgleichung dritter Ordnung 
zwischen g und x: 
(2) X 2 /'— — X o 0 = 0 
ihre verkürzte Gleichung. Hat man diese integriert, so kann man 
durch drei von einander unabhängige Quadraturen die erstere ebenfalls 
integrieren. Es seien nämlich 8 1} 8 3 drei particulare Lösungen 8 
der verkürzten Gleichung, also drei Functionen von x, für die