* * T ~ 
Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung dritter Ordnung in x, y. 561 
(3) er - X 2 X x zl — Z 0 * = 0 
(i ■— 1, 2, 3) 
ist. Insbesondere können sie stets, wie man leicht einsieht, so ge 
wählt werden, dass die Determinante 
4 = 
2, 0, 
Z 0 &> 
£o Zo Zo 
e|= 0 
ist. Nun gestattet die nicht verkürzte Differentialgleichung (1) die 
drei infinitesimalen Transformationen: 
Ut = Z x q, U 2 = z 2 q, U 3 = Z 3 q, 
denn mit y ist auch y -f- Const. z x -j- Const. z 2 -f- Const. z 3 eine Lo 
sung von (1) und bei U 1 , U 2 , U 3 erfährt y eben die Incremente 
z l dt, z 2 dt, z 3 dt, während x ungeändert bleibt. Dass die unverkürzte 
Differentialgleichung die Uif gestattet, kann man übrigens auch so 
einsehen: Die Differentialgleichung ist äquivalent: 
Af 
dl 
dx 
/ df 
of 
+ y Jy + y" ^ + x *y + x >y + *2y") 
dy 
und die Ui geben zweimal erweitert: 
TT , r df , , df , „ df 
Ui = 0i di + 0 * dy + ^ W’ 
dy' 
sodass 
(WA) = (*,v 0 + z!x y + ff. + ,! ff + * 
Vf 
— ^ dy 0t dy' 
(UiӀ) = 0 
Nunmehr bilden 
Af= 0, U x f — 0, 
df 
ffi 
oder wegen (3) 
ist. 
d y" 
ein dreigliedriges vollständiges System in x, y, y, y", dessen Lösung rp 
so angenommen werden kann, dass 
U 3 rp = 1 
wird. Die Ui bilden nämlich eine dreigliedrige Gruppe mit vertausch 
baren Transformationen. 
Sonach ist: 
Uie, Bifferentialcleiclmngen. 36 
df 
dy 
i ™^.._ liííl __ _ ... . ü_. i.