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Kapitel 2, §§ 4, 5. 
(in 
und giebt integriert: 
dx 1 
x. 
dy A 
Vx 
dt 
oder: 
lg «i — lg x = lg Vi ~ lg V = t 
xe\ . y l — yd. 
Diese Gleichungen stellen in der That eine eingliedrige Gruppe dar. 
Bei einer Transformation derselben werden alle Abscissen und Ordi- 
naten in demselben Verhältnis geändert, d. h. die ganze Ebene vom 
Anfangspunkt aus ähnlich vergrössert oder verkleinert, t = 0 giebt 
die identische Transformation, t — dt also eine infinitesimale. In der 
That ist ja e dt — 1 -f- — -f- -}-••■ und die infinitesimale Trans 
formation der Gruppe: 
dt 
i 
+ 
(Ti 2 
1 - 2 
£ + £ + -) 
stimmt mit der vorgelegten (9") in den Gliedern erster Ordnung 
überein. 
§ 5. Nachweis, dass eine eingliedrige Gruppe nur eine infinitesimale 
Transformation besitzt und durch dieselbe bestimmt ist. 
Wir kehren nunmehr zu der eingliedrigen Gruppe des § 3 zurück: 
(15) x x = <p(x, y, a), y x = M>(x, y, a). 
Wir fanden, dass sie jedenfalls eine infinitesimale Transformation be 
sitzt (Satz 2). Wir dürfen daher voraussetzen, es sei 
(16) X = x + lix, y) öt -f , y = y -f- n(x,y)8t -f • • • 
eine gewisse infinitesimale Transformation der Gruppe (15). Die 
höheren Glieder in di sind nicht mitgeschrieben. 
Reihenfolge Wir wollen nun nach der Transformation (15) unserer Gruppe mit 
liehen u. in-dem Parameter a die infinitesimale Transformation (16) ausführen, 
Transfer- welche die durch (15) nach den Stellen (x x , y x ) transformierten Punkte 
(x, y) weiter führt nach den Stellen (x 2 , y 2 ): 
x 2 = x x + %(x x , y x )dt -\ , y 2 = y x 4- n(vi,yi)dt H . 
Die Zwischenwerte x x , y x könnten wir hieraus vermöge (15) elimi 
nieren. Wir wollen dies, um nicht zu umständliche Ausdrücke zu 
erhalten, nur teilweise ausführen: 
'x 2 = <p(x, y, a) -f l{x x - 7 y x )dt H , 
dh = ^0», V, a) + V(?i7 • 
(17)