Einführung neuer Veränderlicher in eine eingliedrige Gruppe. 
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Wir haben früher eine Gruppe definiert als eine Schar von oo 1 
Transformationen, welche die Eigentümlichkeit hat, dass die Reihen 
folge zweier Transformationen der Schar einer einzigen Transformation 
derselben Schar äquivalent ist. Fassen wir diese Transformationen in 
der gewohnten Weise als Operationen auf, durch welche die Punkte 
der Ebene in neue Lagen gelangen, so ist also eine eingliedrige Gruppe 
eine Schar von oo 1 solchen Operationen oder Bewegungen aller ein 
zelnen Punkte der Ebene, sodass die Reihenfolge zweier dieser Be 
wegungen einer einzigen ebenfalls in der Schar enthaltenen Bewegung 
aller Punkte der Ebene gleich ist. Dies ist eine rein geometrische 
Auffassung der Gruppe. 
Wenn wir nunmehr durch eine Transformation von der Form (1) 
neue Yeränderliche £, b einführen, so hat dies — wenn die Gleichungen 
(1) in der auseinandergesetzten Weise als Vermittler der Einführung 
eines neuen Coordinatensystems betrachtet werden — keinen Einfluss 
auf die geometrische Bedeutung der Gruppe als einer Schar von oo 1 
Bewegungen aller Punkte. Diese Bewegungen werden eben nur auf ein 
neues System von Coordinaten bezogen. Der Punkt (x, y) hat im 
neuen System die Coordinaten £, l) und analog werden wir die Co 
ordinaten des transformierten Punktes (x 1} y t ) im neuen System mit 
£ 1; bi bezeichnen, sodass 
(4) h == Vi)) bi == yfait Vi) 
ist. 
Wir können auch direct jq und bi als Functionen von £ und b 
darstellen, indem wir aus (1), (3) und (4) x, y und x u y L fortscbaffen. 
Alsdann werden die oo 1 geometrischen Operationen, welche unsere 
Gruppe bilden, im neuen Coordinatensystem durch Gleichungen von 
der Form 
( 6 ) h = ®(s, t), 0. = ns, >), *) 
dargestellt, und es liegt in der Natur der Sache, dass diese wieder 
der analytische Ausdruck einer Gruppe sein müssen, denn die Reihen 
folge zweier Bewegungen unserer Schar ist nach wie vor einer ein 
zigen Bewegung derselben äquivalent. 
Satz 1: Führt man in die Gleichungen einer eingliedrigen Gruppe: 
x x = cp(x, y, t), y 1 = ip(x,y,t) 
neue Variahein £, b und £ 1? bi ein, indem man gleichzeitig 
£ = A (x, y'), t) — [i (x, y) 
D == Vi)i bi === y(^i, y\) 
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