Symbol der infinitesimalen Transformation. 
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Theorem 3: Jede eingliedrige Gruppe in zwei Veränder 
lichen hann durch passende Wahl der Veränderlichen in eine 
Gruppe von Translationen ühergeführt werden. 
Derartige neue Veränderliche £, t), welche dies leisten, nennen 
wir canonisch und die gefundene Form (5') der Gruppe (3) ihre cano- 
nische Form. In dieser canonischen Form ist zur Transformation (t) 
die Transformation (— t) invers, während t = 0 die identische Trans 
formation gieht. Wir hatten im ersten Kapitel Beispiele dafür in 
den §§ 2, 3. 
§ 2. Symbol der infinitesimalen Transformation. 
Das Hauptergebnis des vorigen Kapitels lässt sich mit wenigen 
Worten aussprechen: Jede eingliedrige Gruppe der Ebene besitzt eine 
und — bis auf einen unwesentlichen Zahlenfactor — nur eine infini 
tesimale Transformation, aus der man durch ein Integrationsverfahren 
wieder die endlichen Gleichungen der Gruppe ableiten kann. 
Hiernach hat die infinitesimale Transformation für die eingliedrige 
Gruppe grosse Wichtigkeit. Sie kann als das bestimmende Element 
derselben aufgefasst werden, aus dem die ganze Gruppe rückwärts 
wieder construiert wei’den kann. 
Wir werden nun die infinitesimale Transformation in einer be 
sonderen, für die begriffliche Auffassung und die praktische Verwendung 
gleich nützlichen Weise symbolisch ausdrücken, wozu die folgende Be 
trachtung führt. 
Die endlichen Gleichungen 
O 
(3) 
= cp(x,y,t), y t = Il>(x f y, t) 
einer eingliedrigen Gruppe drücken die transformierten Veränderlichen 
x l: y x durch die ursprünglichen x, y und den Parameter t aus. Ebenso 
lässt sich jede Function f(x l} y x ) als Function von x, y und t dar 
stellen, Für den Wert von t, der der identischen Transformation ent 
spricht, also etwa für t — 0, wird natürlich die neue Function identisch 
gleich f(x, y), mit variierendem t variiert sie. Wir können daher jede 
Function f(x 1} y t ) als Function von t auffassen und nach der Änderung 
dfi von f(x l ,y 1 ) fragen, welche f(x t ,y¿) zu teil wird, wenn x x und y { 
die Incremente der zugehörigen infinitesimalen Transformation 
(6) x—x l + %(x 1 ,y l )df-\ , y' = y 1 -{. n{x x ,yd dt -f , 
also die Incremente 
(6') 
Sxi = %{x l ,y l ) St, Sy, .= y(x,, ?/ 1 ) St 
erfahren. Es ist: 
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