Symbol der infinitesimalen Transformation. 
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so hat man die beiden Differentialgleichungen zu erfüllen: 
(14) Ut = t£ + v £-0, + 1. 
Die von Uf erzeugte Gruppe ist die der Translationen längs der 
t)-Axe. Dies wissen wir aus früheren Beispielen, können es aber auch 
durch Integration des simultanen Systems 
d£i dt) t 7, 
~0 “ T~ ~ (U 
mit den Anfangswerten £, t), 0 erkennen, denn dann ergeben sich die 
o f 
endlichen Gleichungen der von erzeugten Gruppe in der Form 
Ei = 35 k = 9 + * 
Die hier betrachteten neuen Veränderlichen sind schon früher bei 
Ableitung des Theorems 3 (§ 1) vorgekommeu. Damals fanden wir 
diese canonischen Variabeln ohne Integration der Differentialgleichungen 
(14) aus den endlichen Gleichungen der gegebenen Gruppe. 
Wenn aber nur die infinitesimale Transformation Uf derselben 
gegeben ist, so muss man, um £ und p zu finden, die Differential 
gleichungen (14) integrieren. Die erste derselben ist der gewöhnlichen 
Differentialgleichung 
dx __ dy 
£ V 
äquivalent und liefert als Integral £. Hat man dies gefunden, so 
kann man die zweite Differentialgleichung (14) durch blosse Quadratur 
integrieren. Diese ist nämlich dem simultanen System 
dx dy , y 
£ V * 
äquivalent, von welchem ic(x,y) ein von t) freies bekanntes Integral ist. 
Wenn man also etwa aus 
vermöge des gefundenen Integrals 
E(«, y) «= c (= Const.) 
y eliminiert, so wird die linke Seite eine Function von x allein, die 
allerdings noch c enthält. Eine Quadratur liefert daher t) als Function 
von x und c oder, wenn man wieder c — j(oj, y) setzt, als Function 
von x und y. 
Satz 4: Jede infinitesimale Transformation Uf = | ^ -f- rj kann 
durch Einführung zweckmässiger neuer Variabein £, t) auf die Form