ßeihenentwickelung der endlichen Gleichungen einer Gruppe. 
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Gruppe ergeben, wirklich durchführen, allerdings vermittelst unend 
licher Reihen. 
Diese Integration soll x x und y x als Functionen von x, y und t 
oder, wenn man die Anfangswerte x, y als Constanten betrachtet, als 
Functionen von t darstellen. Jede Function f x = f(x x , y x ) ist demnach' 
als Function von t zu betrachten und wir haben nach dem Maclaurin- 
schen Satze: 
(16) f x == f{x x , y x ) = f(x x , y x ) 
Es ist nun 
i = 0 
+ T 
dfy 
dt 
/ 2 
4- — 
1 -5 
dt* 
t=o 
+ 
d k 
dt 
df{x 1 , y x ) 
di 
g/i da;, d_f t dy^ 
dx x dt ' dy x dt 
Nach (15) aber ist: 
^y = Ife, ft), ft) > 
sodass kommt: 
dt yd dx x + y d dy x ‘ 
Diese Formel haben wir schon bei Einführung des Symbols der in 
finitesimalen Transformation (zu Anfang des § 2) gehabt. Die rechte 
Seite ist nichts anderes als TJf, aber geschrieben in x 1} y t , Y as w ^ r 
durch ü x f x ausdrücken: 
( 17 ) % = iv. • 
Jede Function f x von x x , y x giebt also nach ¿.differenziert ü x f x . Eine 
solche Function ist aber U x f x selbst. Mithin ist 
Dies ist so zu verstehen, dass zuerst TJ x f x zu bilden ist und auf die 
dadurch hervorgehende Function qp (x x , y x ) nochmals U x f auszuführen, 
also U x (p zu berechnen ist. Nach (17) ist also auch 
Weiter differenzieren wir U x {U x f x ), das auch als Function von x x , y x 
zu betrachten ist, nach t und erhalten analog 
Zfe-üAüAVJ)) 
u. s. w., allgemein 
&fi TTlTT< /rr^