Die Invarianten einer eingliedrigen Gruppe in der Ebene. 
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ist, unqeändert bleiben, d. h. für welche bei beliebigem t stets invariante 
' ' ° Functionen. 
ß Oi> Vi) = &0, y) 
ist. Nach jenem Theorem lässt sich ja Sl(x 1} yf) in eine Reihe nach 
t entwickeln und unsere Forderung sich so schreiben: 
«(*, y) + r VSl i x > y) + ^ V(ÜSl{x,!/)) + ... = Sl{x, y). 
Diese Gleichung soll für jedes t erfüllt sein. Insbesondere muss also: 
ÜSl(x, y) = 0 
sein. Offenbar ist aber alsdann der Forderung auch für jedes t ge 
nügt, denn dann ist 
U(ÜSl(x, y)) = 27(0) = 0 
u. s. w. 
Theorem 5: Eine Function Q(x, y) bleibt invariant hei 
allen Transformationen einer eingliedrigen Gruppe Uf dann 
und nur dann, wenn identisch USl{x,y) — 0 ist. 
Die Bedingung Üß — 0 stellt offenbar eine lineare partielle 
Differentialgleichung dar: 
Jfl , dSl 
= 0. 
Da dieselbe immer Lösungen besitzt, so giebt es sicher eine Invariante 
ß, aber auch nur eine im wesentlichen, denn mit ß erfüllt zwar jede 
Function JF(ß) die Gleichung, aber keine sonstige Function. 
Satz 1; Jede Function einer Invariante einer eingliedrigen Gruppe 
der Ebene ist wieder eine Invariante derselben, und alle Invarianten der 
Gruppe lassen sich als Functionen einer einzigen Invariante darstellen. 
Wenn man eine Schar von oo 1 Transformationen der Ebene betrachtet, 
die keine Gruppe bilden, so steht die Sache wesentlich anders. Z. B. die 
oo 1 Transformationen 
x i ~ x H“ 11 lh — y t 
bilden keine Gruppe, denn führt mau die zweite Transformation: 
#2 = ~f~ 1, y% — “1“ h 
nach dieser ersten aus, so ist die Reihenfolge beider der Transformation 
= x 2, y 2 = y -f- (t -f- tf) 
äquivalent, welche nicht der Schar angehört. Auch solche Scharen von oo 1 
Transformationen können Invarianten haben. Die Function tg %x z. B. bleibt 
bei jeder Transformation: 
«i yi=y + t 
ungeändert, da tg nx Y — tg %(x -f- 1) = tg itx ist. Aber mit tg %x ist