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Kapitel 4, § 2. 
T verstehen, welche der Aufeinanderfolge von T a und T b äquivalent 
ist und auch der Gruppe angehört. Da diese Transformation T von 
den Parameter werten a und b abhängt, werden wir sie besser noch 
mit T(ab) bezeichnen. Die Äquivalenz der Reihenfolge von T a und T b 
mit T{ab) können wir in Form einer symbolischen Gleichung ausdrücken: 
T a T b = T{ a tj), 
die weiter nichts als diese Äquivalenz ausdrücken soll. {pf)T a ferner 
soll der Punkt p 1 sein, in welchen p 0 durch Ausführung der Trans 
formation T a übergeht, was wir symbolisch so schreiben: 
Pl ~ (Po) T a {Po)T a — (Pl)* 
Unsere obige Beweisführung stellt sich nun so dar: Ist 
Pl = {Po) T a> 
so ist, wenn noch T b ausgeführt wird: 
oder, da 
ist: 
(Pl) Tb (Po) Ta T b 
T a T b — T(ab) 
(Pl) ^6 ~ (Po) T{ab) • 
(P„) T{ab) ist aber ein Punkt der Bahncurve von p 0 , (Pi)T b ein be 
liebiger Punkt der Bahncurve von p x . Letztere Bahncurve fällt also 
mit der ersteren zusammen. 
Satz 2 können wir auch so aussprechen; 
Satz 3: Jede eingliedrige Gruppe der Ebene besitzt oo 1 Balmcurven. 
Diese oo 1 Balmcurven überdecken die ganze Ebene, da jeder Punkt, 
der nicht überhaupt bei allen Transformationen der Gruppe in Ruhe 
bleibt — und diese sind nur Ausnahmestellen —, eine Bahncurve besitzt. 
Wenn wir auf den Punkt p 0 insbesondere die infinitesimale Trans 
formation der Gruppe ausüben, so muss er natürlich auch in einen 
Punkt seiner Bahncurve übergehen. Dabei bewegt sich aber der 
Punkt p 0 nur unendlich wenig und zwar in der Fortschreitungsrichtung, 
welche die infinitesimale Transformation ihm zuordnet. Also: 
Satz 4: Die Richtung einer Bahncurve stimmt in jedem Bankte mit 
der Richtung überein, welche die infinitesimale Transformation der ein 
gliedrigen Gruppe dem Funkte zuordnet. 
Oder auch: 
Satz 5: Ein Funkt, welcher beständig der ihm durch die infinitesi 
male Transformation der eingliedrigen Gruppe jeweils zugeordneten Rich 
tung folgt, beschreibt eine Bahncurve. 
Mit den Balmcurven unserer eingliedrigen Gruppe hängt nun die