Die Balincurven einer eingliedrigen Gruppe der Ebene. 
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Invariante derselben, die wir im vorigen Paragraphen betrachteten, 
eng zusammen. Es stelle nämlich 
CD (x, y) = Const. 
die Schar der Balincurven dar. Führen wir eine allgemeine Trans 
formation 
der Gruppe aus, so gehen alle Punkte (x,y) der Bahncurve a{x,y) = c 
wieder in Punkte (x x , y x ) derselben Bahncurve über, d. h. es ist sicher 
sobald G){x, y) — c ist, und zwar für alle Werte von x, y, t und c. 
Es ist also notwendig 
, Vi) = «0, y) 
für alle Werte von x, y und t, d. h. co(x, y) ist eine Invariante der 
Gruppe. 
Setzen wir andererseits eine Invariante £l(x, y) der Gruppe gleich 
einer Constanten, so stellt sie eine Bahncurve dar, denn die Definitions- 
gleichung der Invariante 
Vl) = V) 
sagt aus, dass auch der von der Stelle (x, y) der Curve il(x, y) — c nach 
der Stelle (x x , y x ) transformierte Punkt auf der Curve Si(x, y) = c liegt. 
Satz 6; Die Invariante einer eingliedrigen Gruppe der Ebene ist 
dadurch charakterisiert, dass sie, gleich einer Constanten gesetzt, die 
Dahncurven definiert. 
Es erhellt dies schliesslich auch aus der Gleichung 
mi = 
da , da n 
+ VT.7=°> 
dx 1 ‘‘ dy 
welche die Invariante ii erfüllen muss. Erinnern wir uns nämlich 
an den engen Zusammenhang, der zwischen der Gleichung TJf — 0 
und der gewöhnlichen Differentialgleichung 
dx 
dy 
V 
besteht (vgl. § 5 des 1. Kap.), so folgt ohne weiteres, dass die Curve 
ki{x,y) — Const. in jedem ihrer Punkte (x, y) die Richtung == -- 
besitzt, welche die infinitesimale Transformation der Gruppe dem be 
treffenden Punkt zuordnet, dass also die Curve Bahncurve ist. 
Die Invariante Si ist Lösung der linearen partiellen Differential 
gleichung 
da . da _ 
1 + v 07 = °-