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Kapitel 4, § 3. 
setzt. Die Gurven der andern Art bestehen aus lauter einzeln 
invarianten Punkten, für welche %(x, y) = rj{x, y) = 0 ist. 
Für beide Gurvenarten gilt das Kriterium: Die Gurve oder 
die Gleichung co(x,y) = 0 ist bei der eingliedrigen Gruppe dann 
und nur dann invariant, ivenn üco — 0 ist vermöge co = 0, 
dabei vorausgesetzt, dass die Gleichung co = 0 in solcher 
Form angenommen tvird, dass nicht etwa und einzeln 
beide vermöge co — 0 verschwinden. 
Zu unserem Kriterium machen wir noch eine Bemerkung: Da 
das Verschwinden von üco vermöge co = 0 die rein geometrische Be 
deutung hat, dass co — 0 eine bei der Gruppe Uf invariante Curve 
ist, und da diese geometrische Bedeutung unabhängig von der Wahl 
der Coordinaten und der speciellen analytischen Darstellungsform der 
Curve ist, so folgt: 
Satz 8: Ist bei einer infinitesimalen Transformation Uf in zivei 
Veränderlichen x, y der Ausdruck Uco(x, y) = 0 vermöge co(x,y) = 0, 
so gilt das entsprechende auch bei Einführung von anderen Veränderlichen 
und unabhängig von der Darstellungsform der Gleichung ca = 0, wenn 
.7 , 8 CO 7 8(0 
nur nicht und ö— 
ox oy 
vermöge co — 0 beide verschwinden. 
Das Kriterium lässt sich noch in etwas anderer Weise aussprechen. 
Es liegt ja ausserordentlich nahe, sich der Redeweise zu bedienen, 
dass die Curve co{x,y) — 0 die infinitesimale Transformation Uf ge 
stattet, d. h. bei ihr invariant bleibt, wenn Uco — 0 vermöge ca = 0 
ist, denn die durch Uf transformierten Veränderlichen 
x^x-Vldt, y^y-Urjdt 
müssen, soll ca = 0 die infinitesimale Transformation Uf gestatten, 
die Gleichung co{x 1 ,y 1 ) = 0 vermöge co{x,y) = 0 erfüllen und dies 
liefert: 
oder 
co{x + löt, y + 71 8 t) 
0, 
dco , 8 m 
- + rl Ty 
dx 
d. h. Uco = 0 vermöge co — 0. 
Da wir sahen, dass dies Kriterium auch hinreichend dafür ist, 
dass die Curve bei allen Transformationen der Gruppe invariant bleibt 
oder, wie wir auch häufig sagen werden, dass sie alle Transformationen 
der Gruppe gestattet, so folgt: 
Satz 9: Fine Curve oder Gleichung co(x, y) = 0 gestattet alle Trans 
formationen der eingliedrigen Gruppe Uf der Ebene, sobald sie die in 
finitesimale Transformation Uf zulässt.